Номер 218, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Докажите тождество:

1) $ \sin 5\alpha - \sin 6\alpha + \sin 8\alpha - \sin 7\alpha = -4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \sin \frac{13\alpha}{2}; $

2) $ \frac{\sin \alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 5\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha; $

3) $ \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha; $

4) $ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cos 2\beta. $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\sin(8\alpha) - \sin(6\alpha)) + (\sin(5\alpha) - \sin(7\alpha))$.

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.

Для первой группы: $ \sin(8\alpha) - \sin(6\alpha) = 2\sin\frac{8\alpha-6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2} = 2\sin\alpha\cos(7\alpha) $.

Для второй группы: $ \sin(5\alpha) - \sin(7\alpha) = 2\sin\frac{5\alpha-7\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha+7\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(6\alpha) = -2\sin\alpha\cos(6\alpha) $.

Теперь левая часть выглядит так: $ 2\sin\alpha\cos(7\alpha) - 2\sin\alpha\cos(6\alpha) $. Вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки: $ 2\sin\alpha(\cos(7\alpha) - \cos(6\alpha)) $.

Применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ \cos(7\alpha) - \cos(6\alpha) = -2\sin\frac{7\alpha+6\alpha}{2}\sin\frac{7\alpha-6\alpha}{2} = -2\sin\frac{13\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} $.

Подставим это выражение обратно: $ 2\sin\alpha \cdot (-2\sin\frac{13\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}) = -4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\alpha\sin\frac{13\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов.

Формула суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Преобразуем числитель: $ \sin\alpha + \sin(5\alpha) = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) $.

Формула суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Преобразуем знаменатель: $ \cos\alpha + \cos(5\alpha) = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) $.

Подставим полученные выражения в левую часть: $ \frac{2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha)}{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)} $.

Сократив дробь на $ 2\cos(2\alpha) $, получим $ \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} $, что по определению равно $ \text{tg}(3\alpha) $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе.

Числитель: $ (\sin\alpha + \sin(3\alpha)) + \sin(2\alpha) $. Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках: $ \sin\alpha + \sin(3\alpha) = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin(2\alpha)\cos(-\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos\alpha $.

Тогда числитель равен $ 2\sin(2\alpha)\cos\alpha + \sin(2\alpha) $. Вынесем $ \sin(2\alpha) $ за скобки: $ \sin(2\alpha)(2\cos\alpha + 1) $.

Знаменатель: $ (\cos\alpha + \cos(3\alpha)) + \cos(2\alpha) $. Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках: $ \cos\alpha + \cos(3\alpha) = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\cos(-\alpha) = 2\cos(2\alpha)\cos\alpha $.

Тогда знаменатель равен $ 2\cos(2\alpha)\cos\alpha + \cos(2\alpha) $. Вынесем $ \cos(2\alpha) $ за скобки: $ \cos(2\alpha)(2\cos\alpha + 1) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{\sin(2\alpha)(2\cos\alpha + 1)}{\cos(2\alpha)(2\cos\alpha + 1)} $.

Сократив общий множитель $ (2\cos\alpha + 1) $, получим $ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \text{tg}(2\alpha) $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства используем формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} $ и $ \sin^2 y = \frac{1-\cos(2y)}{2} $.

Преобразуем левую часть: $ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \frac{1+\cos(2(\alpha - \beta))}{2} - \frac{1-\cos(2(\alpha + \beta))}{2} $.

Приведем к общему знаменателю: $ \frac{1+\cos(2\alpha - 2\beta) - (1-\cos(2\alpha + 2\beta))}{2} = \frac{1+\cos(2\alpha - 2\beta) - 1+\cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} $.

Воспользуемся формулой суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

В нашем случае $ x = 2\alpha + 2\beta $ и $ y = 2\alpha - 2\beta $. Тогда $ \frac{x+y}{2} = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha $ и $ \frac{x-y}{2} = \frac{4\beta}{2} = 2\beta $.

Таким образом, $ \cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta) = 2\cos(2\alpha)\cos(2\beta) $.

Подставим это в наше выражение: $ \frac{2\cos(2\alpha)\cos(2\beta)}{2} = \cos(2\alpha)\cos(2\beta) $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.