Номер 213, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Упростите выражение

$\sqrt{(\text{ctg} \alpha - \text{tg} \alpha) \cdot 2 \text{ctg} 2\alpha \cdot \text{tg} 2\alpha + 2}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Для упрощения выражения преобразуем сначала множитель $(\ctg \alpha - \tg \alpha)$. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$\ctg \alpha - \tg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Воспользуемся формулами двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$. Из второй формулы следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$. Подставив эти формулы в преобразованное выражение, получим:

$\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 2\ctg 2\alpha$

Теперь подставим полученный результат в выражение под корнем:

$(\ctg \alpha - \tg \alpha) \cdot 2\ctg 2\alpha = 2\ctg 2\alpha \cdot 2\ctg 2\alpha = 4\ctg^2 2\alpha$

Исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{4\ctg^2 2\alpha} \cdot \tg 2\alpha + 2 = \sqrt{(2\ctg 2\alpha)^2} \cdot \tg 2\alpha + 2 = |2\ctg 2\alpha| \cdot \tg 2\alpha + 2 = 2|\ctg 2\alpha| \cdot \tg 2\alpha + 2$

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак $\ctg 2\alpha$. По условию задачи $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$. Умножим все части этого неравенства на 2, чтобы найти интервал для аргумента $2\alpha$:

$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{3\pi}{4}$

$\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, в которой котангенс положителен ($\ctg 2\alpha > 0$). Следовательно, модуль раскрывается со знаком плюс: $|\ctg 2\alpha| = \ctg 2\alpha$.

Подставим это обратно в выражение:

$2\ctg 2\alpha \cdot \tg 2\alpha + 2$

Так как произведение котангенса и тангенса одного и того же угла равно единице ($\ctg x \cdot \tg x = 1$), окончательно получаем:

$2 \cdot 1 + 2 = 4$

Ответ: 4