Страница 37 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Дано: $\sin \alpha = 0,8$, $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 4\alpha$.

Поскольку по условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен (что соответствует условию), а косинус отрицателен.

Для дальнейших вычислений найдем $cos \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$cos \alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, $cos \alpha$ должен быть отрицательным, следовательно, $cos \alpha = -0,6$.

1) sin2α;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.

Подставим известные значения $sin \alpha = 0,8$ и $cos \alpha = -0,6$:

$sin 2\alpha = 2 \cdot 0,8 \cdot (-0,6) = 1,6 \cdot (-0,6) = -0,96$

Ответ: -0,96

2) cos2α;

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, например, $cos 2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Подставим известные значения:

$cos 2\alpha = (-0,6)^2 - (0,8)^2 = 0,36 - 0,64 = -0,28$

Также можно использовать другую формулу: $cos 2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$.

$cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (0,8)^2 = 1 - 2 \cdot 0,64 = 1 - 1,28 = -0,28$

Ответ: -0,28

3) tg4α.

Для нахождения $tg 4\alpha$ сначала найдем $tg 2\alpha$.

$tg 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$

Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $tg 4\alpha$, представив $4\alpha$ как $2 \cdot (2\alpha)$:

$tg 4\alpha = \frac{2tg 2\alpha}{1 - tg^2 2\alpha}$

Подставим найденное значение $tg 2\alpha = \frac{24}{7}$ в формулу:

$tg 4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49 - 576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{-527}{49}}$

Для упрощения дроби умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$tg 4\alpha = \frac{48}{7} \cdot \left(-\frac{49}{527}\right) = -\frac{48 \cdot 49}{7 \cdot 527} = -\frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527}$

Ответ: $-\frac{336}{527}$

210. Дано: $\text{tg}\alpha = -4$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\text{tg} 2\alpha$.

По условию задачи дано $ \text{tg}\,\alpha = -4 $ и известно, что угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $). Для нахождения тригонометрических функций двойного угла $ 2\alpha $ удобно использовать формулы, которые выражают их через $ \text{tg}\,\alpha $.

Сначала вычислим значение $ \text{tg}^2\alpha $:

$ \text{tg}^2\alpha = (-4)^2 = 16 $.

1) sin2α;

Используем формулу синуса двойного угла через тангенс:

$ \sin(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} $.

Подставляем известные значения в формулу:

$ \sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot (-4)}{1 + 16} = \frac{-8}{17} $.

Ответ: $ -\frac{8}{17} $

2) cos2α;

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс:

$ \cos(2\alpha) = \frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} $.

Подставляем известные значения в формулу:

$ \cos(2\alpha) = \frac{1 - 16}{1 + 16} = \frac{-15}{17} $.

Ответ: $ -\frac{15}{17} $

3) tg2α.

Используем формулу тангенса двойного угла через тангенс:

$ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} $.

Подставляем известные значения в формулу:

$ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot (-4)}{1 - 16} = \frac{-8}{-15} = \frac{8}{15} $.

Для проверки можно найти тангенс двойного угла как отношение синуса к косинусу, используя результаты, полученные в предыдущих пунктах:

$ \text{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{-8/17}{-15/17} = \frac{8}{15} $.

Ответ: $ \frac{8}{15} $

Анализ результатов: так как $ \sin(2\alpha) < 0 $ и $ \cos(2\alpha) < 0 $, угол $ 2\alpha $ находится в третьей четверти. Это согласуется с исходным условием $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $, из которого следует, что $ 180^\circ < 2\alpha < 360^\circ $ (третья или четвертая четверть).

211. Упростите выражение $\sqrt{8+8\cos 6\alpha}$, если $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

Для упрощения данного выражения преобразуем подкоренное выражение. Сначала вынесем общий множитель 8 за скобки:

$\sqrt{8 + 8\cos{6\alpha}} = \sqrt{8(1 + \cos{6\alpha})}$

Далее воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $1 + \cos{2x} = 2\cos^2{x}$. В нашем случае аргумент равен $6\alpha$, поэтому $2x = 6\alpha$, откуда $x = 3\alpha$. Применяя формулу, получаем:

$1 + \cos{6\alpha} = 2\cos^2{3\alpha}$

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt{8 \cdot 2\cos^2{3\alpha}} = \sqrt{16\cos^2{3\alpha}}$

Извлекая квадратный корень, необходимо учесть, что $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{16\cos^2{3\alpha}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\cos^2{3\alpha}} = 4|\cos{3\alpha}|$

Теперь необходимо раскрыть модуль, используя заданное в условии ограничение $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$. Определим диапазон значений для угла $3\alpha$, умножив все части неравенства на 3:

$3 \cdot \frac{\pi}{6} < 3\alpha < 3 \cdot \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2} < 3\alpha < \pi$

Угол $3\alpha$ находится во второй координатной четверти, где косинус принимает отрицательные значения, то есть $\cos{3\alpha} < 0$.

По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно, то $|a| = -a$. Следовательно:

$|\cos{3\alpha}| = -\cos{3\alpha}$

Подставим это в наше упрощенное выражение:

$4|\cos{3\alpha}| = 4(-\cos{3\alpha}) = -4\cos{3\alpha}$

Ответ: $-4\cos{3\alpha}$

212. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha}$;

2) $\frac{\sin^2 2\alpha - 4\sin^2 \alpha}{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4}$;

3) $\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}$;

4) $\frac{\sin 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha}$.

1) Приведем выражение к общему знаменателю:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos\alpha + \cos 3\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.
В числителе используем формулу синуса суммы $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $:
$ \sin 3\alpha \cos\alpha + \cos 3\alpha \sin\alpha = \sin(3\alpha + \alpha) = \sin 4\alpha $.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $.
Подставляем преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{\sin 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 4\alpha}{\sin 2\alpha} $.
Теперь применим формулу синуса двойного угла к числителю $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:
$ \frac{2 \cdot 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 4\cos 2\alpha $.
Ответ: $ 4\cos 2\alpha $.

2) Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, тогда $ \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
Преобразуем числитель:
$ \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
Тогда числитель равен $ 4\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -4\sin^4\alpha $.
Преобразуем знаменатель:
$ \sin^2 2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4 = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4 = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4(1 - \sin^2\alpha) $.
Так как $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $, то знаменатель равен:
$ 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) $.
Так как $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $, то знаменатель равен $ 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha $.
Найдем отношение преобразованного числителя к знаменателю:
$ \frac{-4\sin^4\alpha}{-4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \text{tg}^4\alpha $.
Ответ: $ \text{tg}^4\alpha $.

3) В числителе используем формулу косинуса двойного угла: $ 2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha $.
Рассмотрим знаменатель $ 2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Используем формулу приведения $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{tg} x $. Представим $ \frac{\pi}{4} - \alpha $ как $ \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Тогда $ \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Знаменатель принимает вид: $ 2\text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Распишем тангенс как отношение синуса к косинусу:
$ 2 \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Это формула синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, где $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $.
Знаменатель равен $ \sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) $.
Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos\beta $, получаем $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos 2\alpha $.
Таким образом, все выражение равно:
$ \frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

4) Для упрощения будем использовать формулы половинного угла (или двойного угла в другой форме):
$ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $
$ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
Рассмотрим каждую дробь по отдельности:
Первая дробь: $ \frac{\sin 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2\cos^2 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg} 2\alpha $.
Третья дробь: $ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.
Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:
$ \text{tg} 2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha $.
Заменим $ \text{tg} 2\alpha $ на $ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $:
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha $.
Сокращаем $ \cos 2\alpha $:
$ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha $.
Упростим оставшуюся дробь:
$ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $.
В итоге получаем произведение:
$ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

213. Упростите выражение

$\sqrt{(\text{ctg} \alpha - \text{tg} \alpha) \cdot 2 \text{ctg} 2\alpha \cdot \text{tg} 2\alpha + 2}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Для упрощения выражения преобразуем сначала множитель $(\ctg \alpha - \tg \alpha)$. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$\ctg \alpha - \tg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Воспользуемся формулами двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$. Из второй формулы следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$. Подставив эти формулы в преобразованное выражение, получим:

$\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 2\ctg 2\alpha$

Теперь подставим полученный результат в выражение под корнем:

$(\ctg \alpha - \tg \alpha) \cdot 2\ctg 2\alpha = 2\ctg 2\alpha \cdot 2\ctg 2\alpha = 4\ctg^2 2\alpha$

Исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{4\ctg^2 2\alpha} \cdot \tg 2\alpha + 2 = \sqrt{(2\ctg 2\alpha)^2} \cdot \tg 2\alpha + 2 = |2\ctg 2\alpha| \cdot \tg 2\alpha + 2 = 2|\ctg 2\alpha| \cdot \tg 2\alpha + 2$

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак $\ctg 2\alpha$. По условию задачи $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$. Умножим все части этого неравенства на 2, чтобы найти интервал для аргумента $2\alpha$:

$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{3\pi}{4}$

$\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, в которой котангенс положителен ($\ctg 2\alpha > 0$). Следовательно, модуль раскрывается со знаком плюс: $|\ctg 2\alpha| = \ctg 2\alpha$.

Подставим это обратно в выражение:

$2\ctg 2\alpha \cdot \tg 2\alpha + 2$

Так как произведение котангенса и тангенса одного и того же угла равно единице ($\ctg x \cdot \tg x = 1$), окончательно получаем:

$2 \cdot 1 + 2 = 4$

Ответ: 4

214. Докажите, что $\cos 4\beta \cos 8\beta \cos 16\beta = \frac{\sin 32\beta}{8\sin 4\beta}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Мы будем последовательно применять формулу синуса двойного угла в виде $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Рассмотрим левую часть равенства (обозначим ее $L$):

$L = cos(4\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)$

Умножим и разделим это выражение на $sin(4\beta)$, предполагая, что $sin(4\beta) \neq 0$. Это условие необходимо для существования правой части тождества, так как знаменатель не может быть равен нулю.

$L = \frac{sin(4\beta)cos(4\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)}{sin(4\beta)}$

Теперь преобразуем числитель. Заменим произведение $sin(4\beta)cos(4\beta)$ на $\frac{1}{2}sin(2 \cdot 4\beta) = \frac{1}{2}sin(8\beta)$:

$L = \frac{\frac{1}{2}sin(8\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)}{sin(4\beta)} = \frac{sin(8\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)}{2sin(4\beta)}$

Снова применим ту же формулу к произведению $sin(8\beta)cos(8\beta)$, которое равно $\frac{1}{2}sin(2 \cdot 8\beta) = \frac{1}{2}sin(16\beta)$:

$L = \frac{\frac{1}{2}sin(16\beta)cos(16\beta)}{2sin(4\beta)} = \frac{sin(16\beta)cos(16\beta)}{4sin(4\beta)}$

И в последний раз применим формулу к произведению $sin(16\beta)cos(16\beta)$, которое равно $\frac{1}{2}sin(2 \cdot 16\beta) = \frac{1}{2}sin(32\beta)$:

$L = \frac{\frac{1}{2}sin(32\beta)}{4sin(4\beta)} = \frac{sin(32\beta)}{8sin(4\beta)}$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $cos(4\beta)cos(8\beta)cos(16\beta) = \frac{sin(32\beta)}{8sin(4\beta)}$ доказано.

215. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ; $

2) $ \sin 4\alpha + \sin 10\alpha; $

3) $ \sin \frac{11\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12}; $

4) $ \cos 3\alpha - \cos 7\alpha; $

5) $ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right); $

6) $ \cos\left(2\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right). $

1) Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу $ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 40^\circ $ и $ B = 10^\circ $:
$ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ = 2 \cos\left(\frac{40^\circ+10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ-10^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{50^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ $.

Ответ: $ 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ $

2) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 4\alpha $ и $ B = 10\alpha $:
$ \sin 4\alpha + \sin 10\alpha = 2 \sin\left(\frac{4\alpha+10\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{4\alpha-10\alpha}{2}\right) = 2 \sin(7\alpha) \cos(-3\alpha) $.
Так как косинус — чётная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем:
$ 2 \sin(7\alpha) \cos(3\alpha) $.

Ответ: $ 2 \sin(7\alpha) \cos(3\alpha) $

3) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу $ \sin A - \sin B = 2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $.
Подставим $ A = \frac{11\pi}{12} $ и $ B = \frac{5\pi}{12} $:
$ \sin\frac{11\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12} = 2 \sin\left(\frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\frac{6\pi}{12}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{16\pi}{12}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) $.
Вычислим значения тригонометрических функций: $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 3\alpha $ и $ B = 7\alpha $:
$ \cos 3\alpha - \cos 7\alpha = -2 \sin\left(\frac{3\alpha+7\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{3\alpha-7\alpha}{2}\right) = -2 \sin(5\alpha) \sin(-2\alpha) $.
Так как синус — нечётная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), получаем:
$ -2 \sin(5\alpha) (-\sin(2\alpha)) = 2 \sin(5\alpha) \sin(2\alpha) $.

Ответ: $ 2 \sin(5\alpha) \sin(2\alpha) $

5) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = x + \frac{\pi}{6} $ и $ B = x - \frac{\pi}{6} $:
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(\frac{x + \frac{\pi}{6} + x - \frac{\pi}{6}}{2}\right) \cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{6} - (x - \frac{\pi}{6})}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \cos\left(\frac{2\pi/6}{2}\right) = 2 \sin(x) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $.
Так как $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:
$ 2 \sin(x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin(x) $.

Ответ: $ \sqrt{3} \sin(x) $

6) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
Подставим $ A = 2\alpha - \frac{2\pi}{3} $ и $ B = \frac{\pi}{3} + 2\alpha $:
$ \frac{A+B}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\alpha}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{3}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{6} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} - (\frac{\pi}{3} + 2\alpha)}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} - 2\alpha}{2} = \frac{-\pi}{2} $.
Получаем:
$ -2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, то:
$ -2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) \cdot (-1) = 2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $.

Ответ: $ 2 \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

216. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 70^\circ + \sin 36^\circ; $

2) $ \sin \frac{\pi}{5} - \cos \frac{3\pi}{10}; $

3) $ \cos 4\beta - \sin 2\beta. $

1) Чтобы преобразовать сумму в произведение, приведем слагаемые к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:
$\sin36^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \cos54^\circ$.
Выражение принимает вид: $\cos70^\circ + \cos54^\circ$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:
$2 \cos\frac{70^\circ+54^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ-54^\circ}{2} = 2 \cos\frac{124^\circ}{2} \cos\frac{16^\circ}{2} = 2 \cos62^\circ \cos8^\circ$.
Ответ: $2 \cos62^\circ \cos8^\circ$.

2) Приведем оба члена выражения к синусу, используя формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos\frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin(\frac{2\pi}{10}) = \sin(\frac{\pi}{5})$.
Подставим в исходное выражение:
$\sin\frac{\pi}{5} - \cos\frac{3\pi}{10} = \sin\frac{\pi}{5} - \sin\frac{\pi}{5} = 0$.
Ответ: $0$.

3) Приведем выражение к разности синусов, используя формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos4\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - 4\beta)$.
Выражение принимает вид: $\sin(\frac{\pi}{2} - 4\beta) - \sin2\beta$.
Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$:
$2 \cos\frac{\frac{\pi}{2} - 4\beta + 2\beta}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{2} - 4\beta - 2\beta}{2} = 2 \cos\frac{\frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{2} - 6\beta}{2} = 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) \sin(\frac{\pi}{4} - 3\beta)$.
Ответ: $2 \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) \sin(\frac{\pi}{4} - 3\beta)$.