Страница 34 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Упростите выражение:

1) $ \cos 2\beta \cos 5\beta + \sin 2\beta \sin 5\beta; $

2) $ \sin 53^{\circ} \cos 7^{\circ} + \cos 53^{\circ} \sin 7^{\circ}; $

3) $ \cos(4^{\circ} + \alpha)\sin(\alpha - 41^{\circ}) + \cos(\alpha - 41^{\circ})\sin(4^{\circ} + \alpha); $

4) $ \frac{\cos 63^{\circ} \cos 22^{\circ} + \sin 63^{\circ} \sin 22^{\circ}}{\sin 16^{\circ} \cos 25^{\circ} + \cos 16^{\circ} \sin 25^{\circ}}; $

5) $ \frac{\operatorname{tg} 47^{\circ} - \operatorname{tg} 17^{\circ}}{1 + \operatorname{tg} 47^{\circ} \operatorname{tg} 17^{\circ}}; $

6) $ \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+\alpha\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+\alpha\right)\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-\alpha\right)}. $

1) Дано выражение: $ \cos 2\beta \cos 5\beta + \sin 2\beta \sin 5\beta $.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \gamma) = \cos\alpha \cos\gamma + \sin\alpha \sin\gamma $.

В данном случае, если принять $ \alpha = 5\beta $ и $ \gamma = 2\beta $, то выражение полностью соответствует правой части формулы.

Следовательно, выражение можно свернуть: $ \cos(5\beta - 2\beta) = \cos(3\beta) $.

Ответ: $ \cos(3\beta) $.

2) Дано выражение: $ \sin 53^\circ \cos 7^\circ + \cos 53^\circ \sin 7^\circ $.

Это выражение является развернутой формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Здесь $ \alpha = 53^\circ $ и $ \beta = 7^\circ $.

Применяя формулу, получаем: $ \sin(53^\circ + 7^\circ) = \sin(60^\circ) $.

Табличное значение $ \sin(60^\circ) $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

3) Дано выражение: $ \cos(4^\circ + \alpha)\sin(\alpha - 41^\circ) + \cos(\alpha - 41^\circ)\sin(4^\circ + \alpha) $.

Для удобства восприятия поменяем слагаемые местами: $ \sin(4^\circ + \alpha)\cos(\alpha - 41^\circ) + \cos(4^\circ + \alpha)\sin(\alpha - 41^\circ) $.

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.

Пусть $ A = 4^\circ + \alpha $ и $ B = \alpha - 41^\circ $.

Тогда выражение равно: $ \sin((4^\circ + \alpha) + (\alpha - 41^\circ)) = \sin(4^\circ + \alpha + \alpha - 41^\circ) = \sin(2\alpha - 37^\circ) $.

Ответ: $ \sin(2\alpha - 37^\circ) $.

4) Дано выражение: $ \frac{\cos 63^\circ \cos 22^\circ + \sin 63^\circ \sin 22^\circ}{\sin 16^\circ \cos 25^\circ + \cos 16^\circ \sin 25^\circ} $.

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $ \cos 63^\circ \cos 22^\circ + \sin 63^\circ \sin 22^\circ $. Это формула косинуса разности $ \cos(A - B) $.
$ \cos(63^\circ - 22^\circ) = \cos(41^\circ) $.

Знаменатель: $ \sin 16^\circ \cos 25^\circ + \cos 16^\circ \sin 25^\circ $. Это формула синуса суммы $ \sin(A + B) $.
$ \sin(16^\circ + 25^\circ) = \sin(41^\circ) $.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь: $ \frac{\cos(41^\circ)}{\sin(41^\circ)} $.

По определению котангенса $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $, получаем $ \cot(41^\circ) $.

Ответ: $ \cot(41^\circ) $.

5) Дано выражение: $ \frac{\tan 47^\circ - \tan 17^\circ}{1 + \tan 47^\circ \tan 17^\circ} $.

Это выражение соответствует формуле тангенса разности двух углов: $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $.

Здесь $ \alpha = 47^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.

Применяя формулу, получаем: $ \tan(47^\circ - 17^\circ) = \tan(30^\circ) $.

Табличное значение $ \tan(30^\circ) $ равно $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ или $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

6) Дано выражение: $ \frac{\tan(\frac{\pi}{8} + \alpha) + \tan(\frac{\pi}{8} - \alpha)}{1 - \tan(\frac{\pi}{8} + \alpha) \tan(\frac{\pi}{8} - \alpha)} $.

Это выражение соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $.

Пусть $ A = \frac{\pi}{8} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{8} - \alpha $.

Тогда выражение равно: $ \tan(A + B) = \tan\left(\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)\right) $.

Упростим аргумент тангенса: $ \frac{\pi}{8} + \alpha + \frac{\pi}{8} - \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.

Таким образом, мы получаем $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Значение $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) $ равно 1.

Ответ: $ 1 $.

191. Докажите тождество:

1) $tg\alpha + tg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta};$

2) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + 2\sin \alpha \sin \beta}{2\sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha + \beta)} = ctg(\alpha - \beta);$

3) $\sin 6\alpha ctg 3\alpha - \cos 6\alpha = 1.$

1)

Преобразуем левую часть тождества. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

$\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

В числителе получилась формула синуса суммы углов: $\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$.

Подставим это в наше выражение и получим правую часть тождества:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем формулы косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ и синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + 2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin\alpha\cos\beta - (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)}$

Упростим числитель и знаменатель, приведя подобные слагаемые:

Числитель: $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + 2\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Знаменатель: $2\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Теперь свернем полученные выражения по формулам косинуса разности и синуса разности:

Числитель: $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta)$.

Знаменатель: $\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha - \beta)$.

В результате получаем:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \text{ctg}(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg} 3\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.

$\sin 6\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$

Применим формулу синуса двойного угла для $\sin 6\alpha$: $\sin 6\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha$.

$2\sin 3\alpha \cos 3\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$

Сократим дробь на $\sin 3\alpha$ (при условии, что $\sin 3\alpha \neq 0$):

$2\cos 3\alpha \cdot \cos 3\alpha - \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha - \cos 6\alpha$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла: $\cos 6\alpha = \cos(2 \cdot 3\alpha) = 2\cos^2 3\alpha - 1$.

$2\cos^2 3\alpha - (2\cos^2 3\alpha - 1) = 2\cos^2 3\alpha - 2\cos^2 3\alpha + 1 = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

192. Преобразуйте в произведение:

1) $tg14^\circ + tg16^\circ$;

2) $ctg7\alpha - tg3\alpha$;

3) $tg\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) - tg\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$;

4) $\sqrt{3} - tg\alpha$.

1) Для преобразования суммы $tg14^\circ + tg16^\circ$ в произведение, воспользуемся формулой суммы тангенсов, которая выводится из определения тангенса и формулы синуса суммы.
Запишем тангенсы через синусы и косинусы:
$tg14^\circ + tg16^\circ = \frac{\sin(14^\circ)}{\cos(14^\circ)} + \frac{\sin(16^\circ)}{\cos(16^\circ)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)$:
$\frac{\sin(14^\circ)\cos(16^\circ) + \cos(14^\circ)\sin(16^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$
В числителе мы получили выражение, соответствующее формуле синуса суммы углов: $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$.
Применив эту формулу, получим:
$\frac{\sin(14^\circ + 16^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то выражение можно упростить:
$\frac{1/2}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)} = \frac{1}{2\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$
Ответ: $\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)} = \frac{1}{2\cos(14^\circ)\cos(16^\circ)}$.

2) Для преобразования выражения $ctg7\alpha - tg3\alpha$, представим котангенс и тангенс через отношения синуса и косинуса.
$ctg7\alpha - tg3\alpha = \frac{\cos(7\alpha)}{\sin(7\alpha)} - \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}$
Приведем к общему знаменателю $\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)$:
$\frac{\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) - \sin(7\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)}$
Числитель этой дроби соответствует формуле косинуса суммы углов: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$.
В нашем случае $x=7\alpha$ и $y=3\alpha$, поэтому числитель равен $\cos(7\alpha + 3\alpha) = \cos(10\alpha)$.
Таким образом, исходное выражение преобразуется в:
$\frac{\cos(10\alpha)}{\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)}$
Ответ: $\frac{\cos(10\alpha)}{\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)}$.

3) Используем формулу разности тангенсов: $tg(x) - tg(y) = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x)\cos(y)}$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$ и $y = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.
Найдем разность $x-y$:
$x-y = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.
Значит, числитель будет равен $\sin(\alpha)$.
Теперь преобразуем знаменатель $\cos(x)\cos(y)$, используя формулу произведения косинусов: $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
$A-B = x-y = \alpha$.
$A+B = x+y = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, знаменатель равен:
$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, знаменатель упрощается до $\frac{1}{2}\cos(\alpha)$.
Теперь подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\frac{\sin(\alpha)}{\frac{1}{2}\cos(\alpha)} = 2 \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2tg(\alpha)$.
Ответ: $2tg(\alpha)$.

4) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{3} - tg\alpha$ в произведение, представим $\sqrt{3}$ как тангенс известного угла. Мы знаем, что $tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
Тогда выражение принимает вид:
$tg\left(\frac{\pi}{3}\right) - tg(\alpha)$.
Воспользуемся формулой разности тангенсов: $tg(x) - tg(y) = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x)\cos(y)}$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.
$tg\left(\frac{\pi}{3}\right) - tg(\alpha) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha)}$.
Значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим его в знаменатель:
$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\frac{1}{2}\cos(\alpha)} = \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos(\alpha)}$.
Ответ: $\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos(\alpha)}$.

193. Найдите $ \operatorname{tg} 105^\circ $.

Для нахождения значения $tg 105°$ представим угол $105°$ как сумму двух стандартных углов, значения тангенсов для которых известны: $105° = 60° + 45°$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$

Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$. Мы знаем, что $tg 60° = \sqrt{3}$ и $tg 45° = 1$.

$tg 105° = tg(60° + 45°) = \frac{tg 60° + tg 45°}{1 - tg 60° \cdot tg 45°} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + \sqrt{3})$:

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -\frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$

Ответ: $-2 - \sqrt{3}$

194. Дано: $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin(30^\circ + \alpha)$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применим эту формулу к выражению $sin(30^\circ + \alpha)$:

$sin(30^\circ + \alpha) = sin(30^\circ)cos(\alpha) + cos(30^\circ)sin(\alpha)$.

Из условия нам известно, что $sin(\alpha) = \frac{4}{5}$. Также нам известны значения синуса и косинуса для угла $30^\circ$: $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для того чтобы найти значение выражения, нам необходимо определить $cos(\alpha)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим известное значение $sin(\alpha)$:

$(\frac{4}{5})^2 + cos^2(\alpha) = 1$

$\frac{16}{25} + cos^2(\alpha) = 1$

$cos^2(\alpha) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение, следовательно, $cos(\alpha) = -\frac{3}{5}$.

Теперь мы можем подставить все найденные и известные значения в формулу синуса суммы:

$sin(30^\circ + \alpha) = sin(30^\circ)cos(\alpha) + cos(30^\circ)sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{5}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{10} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$

195. Дано: $\sin \alpha = 0,8$, $\cos \beta = -\frac{5}{13}$, $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$, $180^{\circ} < \beta < 270^{\circ}$.

Найдите $\cos (\alpha + \beta)$.

Для того чтобы найти $cos(α + β)$, воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$cos(α + β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ$

Из условия задачи нам известны $sinα = 0,8$ и $cosβ = -\frac{5}{13}$. Нам необходимо найти $cosα$ и $sinβ$.

1. Найдем $cosα$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2α + cos^2α = 1$.

$cos^2α = 1 - sin^2α$

Подставим известное значение $sinα = 0,8$:

$cos^2α = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$cosα = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$

По условию угол $α$ находится в интервале $0° < α < 90°$, что соответствует I четверти. В этой четверти косинус имеет положительное значение, поэтому выбираем $cosα = 0,6$.

2. Найдем $sinβ$.

Снова используем основное тригонометрическое тождество $sin^2β + cos^2β = 1$.

$sin^2β = 1 - cos^2β$

Подставим известное значение $cosβ = -\frac{5}{13}$:

$sin^2β = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$

$sinβ = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$

По условию угол $β$ находится в интервале $180° < β < 270°$, что соответствует III четверти. В этой четверти синус имеет отрицательное значение, поэтому выбираем $sinβ = -\frac{12}{13}$.

3. Вычислим $cos(α + β)$.

Теперь подставим все известные и найденные значения в формулу косинуса суммы. Для удобства представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $sinα = 0,8 = \frac{4}{5}$ и $cosα = 0,6 = \frac{3}{5}$.

$cos(α + β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) - \frac{4}{5} \cdot (-\frac{12}{13})$

$cos(α + β) = -\frac{15}{65} - (-\frac{48}{65}) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{48 - 15}{65} = \frac{33}{65}$

Ответ: $\frac{33}{65}$

196. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha;$

2) $5 \sin \alpha - 12 \cos \alpha.$

1)

Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Данный метод заключается в преобразовании выражения к виду $R\cos(\alpha - \phi)$ или $R\sin(\alpha + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В выражении $\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha$ коэффициенты при $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ равны $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$ соответственно.

Найдем значение $R$:
$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем $R$ за скобки в исходном выражении:
$\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha \right)$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в выражение:
$2 \left( \cos(\frac{\pi}{6})\cos\alpha + \sin(\frac{\pi}{6})\sin\alpha \right)$.

Используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$, получаем:
$2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$.

Поскольку область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, наибольшее значение выражения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ равно 1.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения $2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ равно $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

2)

Аналогично первому пункту, найдем наибольшее значение выражения $5\sin\alpha - 12\cos\alpha$.

Это выражение также имеет вид $a\sin\alpha + b\cos\alpha$, где $a = 5$ и $b = -12$.

Вычислим $R$:
$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Преобразуем выражение:
$5\sin\alpha - 12\cos\alpha = 13 \left( \frac{5}{13}\sin\alpha - \frac{12}{13}\cos\alpha \right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{5}{13}$ и $\sin\phi = \frac{12}{13}$. Такой угол существует, так как $(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Подставив эти значения, получим:
$13(\cos\phi\sin\alpha - \sin\phi\cos\alpha)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем:
$13\sin(\alpha - \phi)$.

Наибольшее значение функции синус равно 1. Поэтому наибольшее значение выражения $13\sin(\alpha - \phi)$ равно $13 \cdot 1 = 13$.

Ответ: 13

197. Упростите выражение:

1) $ \sin(\pi - \alpha); $

2) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right); $

3) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

4) $ \operatorname{ctg}(\alpha - \pi); $

5) $ \sin^2\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right); $

6) $ \cos^2(360^\circ - \alpha). $

1) sin(π - α)

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй координатной четверти (если считать, что $ \alpha $ - острый угол). Во второй четверти синус имеет положительный знак. Так как в формуле присутствует $ \pi $ (целое число $ \pi $), название функции (синус) не меняется.
Следовательно, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
В качестве альтернативы можно использовать формулу синуса разности:
$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\pi)\cos(\alpha) - \cos(\pi)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

2) cos(3π/2 + α)

Используем формулу приведения. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительный знак. Так как в формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $ (половинное число $ \pi $), название функции меняется на кофункцию (косинус на синус).
Следовательно, $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) $.
Можно также проверить по формуле косинуса суммы:
$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

3) tg(π/2 + α)

Применим формулу приведения. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти тангенс имеет отрицательный знак. Так как в формуле есть $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).
Таким образом, $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha) $.
Проверим через определение тангенса:
$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = \frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = -\text{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ -\text{ctg}(\alpha) $

4) ctg(α - π)

Воспользуемся свойством периодичности котангенса. Наименьший положительный период котангенса равен $ \pi $.
$ \text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}(\alpha - \pi + \pi) = \text{ctg}(\alpha) $.
Также можно использовать свойство нечетности котангенса ($ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $) и формулу приведения:
$ \text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}(-(\pi - \alpha)) = -\text{ctg}(\pi - \alpha) $.
Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен, а название функции не меняется.
$ -\text{ctg}(\pi - \alpha) = -(-\text{ctg}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ \text{ctg}(\alpha) $

5) sin²(7π/2 + α)

Сначала упростим выражение под знаком синуса. Учтем, что период синуса равен $ 2\pi $.
$ \frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} $.
$ \sin\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) $.
Теперь применим формулу приведения для $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) $. Угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Функция меняется на кофункцию.
$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos(\alpha) $.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$ \sin^2\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \left(\sin\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)\right)^2 = \left(-\cos(\alpha)\right)^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $

6) cos²(360° - α)

Сначала упростим $ \cos(360^\circ - \alpha) $. Угол $ 360^\circ - \alpha $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Так как в формуле $ 360^\circ $, название функции не меняется.
$ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Также можно воспользоваться свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $. Так как $ 360^\circ $ - это полный оборот, то $ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
Теперь возведем результат в квадрат:
$ \cos^2(360^\circ - \alpha) = (\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $