Страница 29 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Известно, что число $T = \sqrt{5}$ является периодом функции $f$. Укажите ещё какие-либо три числа, которые являются периодами этой функции.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Из этого определения следует важное свойство: если $T$ является периодом функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также будет являться периодом этой функции.

Например, докажем это для числа $2T$:
$f(x + 2T) = f((x+T)+T)$. Поскольку $T$ — период, то $f((x+T)+T) = f(x+T)$. И снова, так как $T$ — период, $f(x+T) = f(x)$.
Таким образом, мы получаем $f(x+2T) = f(x)$, что и доказывает, что $2T$ также является периодом функции. Аналогично это свойство справедливо для любого целого $n \ne 0$.

В условии задачи сказано, что периодом функции $f$ является число $T = \sqrt{5}$. Чтобы найти ещё три периода, мы можем умножить данный период $T$ на любые три различных целых числа, не равных 1 и 0.

Выберем, к примеру, целые числа 2, 3 и 4. Вычислим соответствующие периоды:

• $T_1 = 2 \cdot T = 2\sqrt{5}$
• $T_2 = 3 \cdot T = 3\sqrt{5}$
• $T_3 = 4 \cdot T = 4\sqrt{5}$

Следовательно, числа $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$ и $4\sqrt{5}$ также являются периодами функции $f$. Можно выбрать и другие целые множители, например, -1, 5, 10, и получить периоды $-\sqrt{5}, 5\sqrt{5}, 10\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{5}$.

163. На рисунке 6 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функции на промежутке $ [-2T; 2T] $.

Рис. 6

y x 0 T

а

y x $ - \frac{T}{2} $ 0 $ \frac{T}{2} $

б

y x $ - \frac{T}{4} $ 0 $ \frac{3T}{4} $

B

а)

Исходный график функции $f(x)$ задан на промежутке $[0, T]$, длина которого равна периоду $T$. Это означает, что данный фрагмент является основным, повторяющимся элементом графика. Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ необходимо использовать свойство периодичности $f(x+kT) = f(x)$, где $k$ - любое целое число. Это эквивалентно сдвигу исходного фрагмента графика влево и вправо на расстояние, кратное периоду $T$.

1. Промежуток $[T; 2T]$: Сдвигаем исходный график на $T$ вправо. Точка, близкая к $(0, 2)$, переместится в точку, близкую к $(T, 2)$, а точка $(T, -1)$ переместится в $(2T, -1)$. Получим кривую от $(T, 2)$ (не включая) до $(2T, -1]$.

2. Промежуток $[-T; 0]$: Сдвигаем исходный график на $T$ влево. Точка, близкая к $(0, 2)$, переместится в точку, близкую к $(-T, 2)$, а точка $(T, -1)$ переместится в $(0, -1)$. Получим кривую от $(-T, 2)$ (не включая) до $(0, -1]$.

3. Промежуток $[-2T; -T]$: Сдвигаем исходный график на $2T$ влево. Получим кривую от $(-2T, 2)$ (не включая) до $(-T, -1]$.

В результате на всем промежутке $[-2T; 2T]$ график будет состоять из четырех одинаковых фрагментов. В точках $x = -T, 0, T$ функция будет иметь разрывы первого рода (скачки). Например, в точке $x=0$ значение функции равно $f(0) = -1$ (согласно сдвинутому фрагменту), а предел справа $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$ (согласно исходному фрагменту).

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из четырех последовательных идентичных кривых, каждая из которых является копией исходного графика. В точках $x = -T, 0, T$ наблюдаются разрывы: при подходе к этим точкам слева значение функции равно $-1$, а при подходе справа функция стремится к $2$.

б)

Исходный график задан на промежутке $[-T/2, T/2]$, длина которого равна периоду $T$. График на этом промежутке представляет собой V-образную непрерывную линию с минимумом в точке $(0, 0)$. На концах промежутка, в точках $x = -T/2$ и $x = T/2$, функция принимает одинаковое значение (по сетке, $y=2$), что соответствует свойству непрерывной периодической функции: $f(-T/2) = f(-T/2 + T) = f(T/2)$.

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ будем сдвигать этот V-образный фрагмент на $T$ влево и вправо.

1. Сдвиг исходного графика на $T$ вправо дает нам такой же V-образный фрагмент на промежутке $[T/2, 3T/2]$ с минимумом в точке $(T, 0)$.

2. Сдвиг исходного графика на $T$ влево дает V-образный фрагмент на промежутке $[-3T/2, -T/2]$ с минимумом в точке $(-T, 0)$.

3. Повторяя эти сдвиги, мы полностью покрываем промежуток $[-2T; 2T]$. Границы промежутка $x=-2T$ и $x=2T$ будут являться точками минимума, так как $f(2T) = f(0+2T) = f(0) = 0$ и $f(-2T) = f(0-2T) = f(0) = 0$.

Итоговый график будет представлять собой непрерывную ломаную линию, состоящую из отрезков прямых и напоминающую последовательность букв "W".

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ представляет собой непрерывную ломаную линию ("треугольную волну"). Локальные минимумы (значение 0) находятся в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$. Локальные максимумы (значение 2) находятся в точках $x = -3T/2, -T/2, T/2, 3T/2$.

в)

Исходный график показан для $x$ от $-T/4$ до $3T/4$. Длина этого промежутка равна $T$, что соответствует периоду функции. График представляет собой одну возрастающую ветвь, которая начинается в точке с координатами $(-T/4, y_0)$ (где по сетке $y_0 \approx -1$), проходит через начало координат $(0, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=3T/4$ (при $x \to (3T/4)^-$, значение $y \to +\infty$).

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ мы будем копировать эту ветвь, сдвигая ее на целое число периодов $T$ влево и вправо. Из свойства периодичности $f(x+T) = f(x)$ следует:

1. Асимптоты: Если есть асимптота $x=3T/4$, то все асимптоты имеют вид $x = 3T/4 + kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ (т.е. $[-8T/4; 8T/4]$) это будут прямые $x = -5T/4$, $x = -T/4$, $x = 3T/4$ и $x = 7T/4$.

2. Нули функции: Если $f(0)=0$, то нули будут во всех точках $x = 0 + kT = kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ это точки $x=-2T, x=-T, x=0, x=T, x=2T$.

3. Построение: График будет состоять из одинаковых ветвей, заключенных между асимптотами.

• На промежутке $(-5T/4, -T/4)$ будет ветвь, проходящая через точку $(-T, 0)$.
• На промежутке $(-T/4, 3T/4)$ расположена исходная ветвь, проходящая через $(0, 0)$.
• На промежутке $(3T/4, 7T/4)$ будет ветвь, проходящая через точку $(T, 0)$.
• Крайние части промежутка $[-2T; 2T]$ будут заняты фрагментами ветвей. На отрезке $[-2T, -5T/4)$ график будет идти от точки $(-2T, 0)$ до $+\infty$. На отрезке $(7T/4, 2T]$ график начнется от значения $y_0 \approx -1$ и дойдет до точки $(2T, 0)$.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из повторяющихся возрастающих ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = -5T/4, -T/4, 3T/4, 7T/4$. Каждая ветвь начинается справа от асимптоты со значения $y \approx -1$, возрастает, пересекает ось Ox в точках $x=kT$ (где $k$ — целое число), и устремляется к $+\infty$ при приближении к следующей асимптоте слева.

164. Покажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \sin \frac{x}{3}$, $T = 6\pi$

2) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{5}$, $T = 5$

3) $f(x) = \left|\operatorname{ctg} \frac{x}{6}\right|$, $T = 3\pi$

4) $f(x) = \cos^8 6x$, $T = \frac{\pi}{6}$

Для того чтобы показать, что число $T$ является периодом функции $f(x)$, необходимо убедиться, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $f(x) = \sin\frac{x}{3}$, $T = 6\pi$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 6\pi) = \sin\frac{x + 6\pi}{3} = \sin(\frac{x}{3} + \frac{6\pi}{3}) = \sin(\frac{x}{3} + 2\pi)$. Поскольку функция синус периодична с основным периодом $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$. Следовательно, $\sin(\frac{x}{3} + 2\pi) = \sin\frac{x}{3} = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x$, значит, $T = 6\pi$ является периодом данной функции. Ответ: $T = 6\pi$ является периодом, так как $f(x + 6\pi) = \sin(\frac{x+6\pi}{3}) = \sin(\frac{x}{3} + 2\pi) = \sin\frac{x}{3} = f(x)$.

2) $f(x) = \text{tg}\frac{\pi x}{5}$, $T = 5$

Область определения функции задается условием $\frac{\pi x}{5} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 5) = \text{tg}\frac{\pi(x + 5)}{5} = \text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \frac{5\pi}{5}) = \text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \pi)$. Поскольку функция тангенс периодична с основным периодом $\pi$, то $\text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg}\alpha$. Следовательно, $\text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \pi) = \text{tg}\frac{\pi x}{5} = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x$ из области определения, значит, $T = 5$ является периодом данной функции. Ответ: $T = 5$ является периодом, так как $f(x + 5) = \text{tg}(\frac{\pi(x+5)}{5}) = \text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \pi) = \text{tg}\frac{\pi x}{5} = f(x)$.

3) $f(x) = |\text{ctg}\frac{x}{6}|$, $T = 3\pi$

Область определения функции задается условием $\frac{x}{6} \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 3\pi) = |\text{ctg}\frac{x + 3\pi}{6}| = |\text{ctg}(\frac{x}{6} + \frac{3\pi}{6})| = |\text{ctg}(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{2})|$. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\text{tg}\alpha$, получаем: $|\text{ctg}(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{2})| = |-\text{tg}\frac{x}{6}| = |\text{tg}\frac{x}{6}|$. Таким образом, равенство $f(x+T)=f(x)$ свелось бы к тождеству $|\text{ctg}\frac{x}{6}| = |\text{tg}\frac{x}{6}|$, которое в общем случае неверно. Приведем контрпример. Пусть $x = \pi$: $f(\pi) = |\text{ctg}(\frac{\pi}{6})| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$. $f(\pi+3\pi) = f(4\pi) = |\text{ctg}(\frac{4\pi}{6})| = |\text{ctg}(\frac{2\pi}{3})| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Поскольку $f(\pi) \neq f(\pi+3\pi)$, число $T=3\pi$ не является периодом функции. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка (наименьший положительный период данной функции равен $6\pi$). Ответ: Число $T=3\pi$ не является периодом функции, так как в общем случае $f(x+3\pi) \neq f(x)$. Например, $f(\pi)=\sqrt{3}$, а $f(\pi+3\pi)=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

4) $f(x) = \cos^8 6x$, $T = \frac{\pi}{6}$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$. Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + \frac{\pi}{6}) = \cos^8(6(x + \frac{\pi}{6})) = \cos^8(6x + \frac{6\pi}{6}) = \cos^8(6x + \pi)$. Выражение $\cos^8(6x + \pi)$ равно $(\cos(6x + \pi))^8$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$, получаем: $(\cos(6x + \pi))^8 = (-\cos 6x)^8$. Так как показатель степени (8) является четным числом, $(-\cos 6x)^8 = \cos^8 6x = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x$, значит, $T = \frac{\pi}{6}$ является периодом данной функции. Ответ: $T = \frac{\pi}{6}$ является периодом, так как $f(x + \frac{\pi}{6}) = \cos^8(6x+\pi) = (-\cos 6x)^8 = \cos^8 6x = f(x)$.

165. Покажите, что число $T = -\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = \sin x$ и предполагаемый период $T = -\pi$. Область определения функции $f(x) = \sin x$ — все действительные числа.

Чтобы доказать, что $T = -\pi$ не является периодом, достаточно найти хотя бы одно значение $x$, для которого равенство $f(x+T) = f(x)$ не будет выполняться.

Проверим выполнение равенства $f(x - \pi) = f(x)$ для функции $f(x) = \sin x$:

$\sin(x - \pi) = \sin x$

Используя формулы приведения, мы знаем, что $\sin(x - \pi) = -\sin x$. Подставим это в наше равенство:

$-\sin x = \sin x$

Это равенство верно только в том случае, если $\sin x = 0$, то есть при $x = k\pi$, где $k$ — целое число. Однако, по определению периода, равенство должно выполняться для любого значения $x$.

Приведем контрпример. Выберем значение $x$, для которого $\sin x \neq 0$. Например, пусть $x = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение функции в точке $x$:

$f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Теперь найдем значение функции в точке $x+T$:

$f(x+T) = f(\frac{\pi}{2} - \pi) = f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

Сравним полученные результаты: $1 \neq -1$. Следовательно, $f(x) \neq f(x+T)$ для $x = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку мы нашли значение $x$, при котором условие периодичности не выполняется, число $T = -\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$.

Ответ: Показано, что $T = -\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$, так как, например, при $x = \frac{\pi}{2}$ равенство $f(x+T)=f(x)$ не выполняется.