Страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-x^2 + 8x - 14} = x - 4;$

2) $\sqrt{x^2 + 2x + 6} = 2x + 1;$

3) $\sqrt{8 - 5x - 2x^2} = x - 2;$

4) $\sqrt{x + 5} = x + 1.$

1) Решим уравнение $\sqrt{-x^2 + 8x - 14} = x - 4$.

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения, и неравенства, которое обеспечивает неотрицательность правой части (а следовательно, и подкоренного выражения).

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ -x^2 + 8x - 14 = (x-4)^2 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

Теперь решим уравнение:

$-x^2 + 8x - 14 = x^2 - 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию ($3 < 4$), следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 4$), следовательно, это решение уравнения.

Ответ: $5$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x^2 + 2x + 6} = 2x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + 6 = (2x+1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

Решим уравнение:

$x^2 + 2x + 6 = 4x^2 + 4x + 1$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -0.5$.

Корень $x_1 = -\frac{5}{3} \approx -1.67$. Так как $-1.67 < -0.5$, этот корень является посторонним.

Корень $x_2 = 1$. Так как $1 \ge -0.5$, этот корень является решением.

Ответ: $1$.

3) Решим уравнение $\sqrt{8 - 5x - 2x^2} = x - 2$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 8 - 5x - 2x^2 = (x - 2)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Решим уравнение:

$8 - 5x - 2x^2 = x^2 - 4x + 4$

$3x^2 + x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < 2$.

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 < 2$.

Оба найденных корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

4) Решим уравнение $\sqrt{x + 5} = x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 5 = (x+1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Решим уравнение:

$x + 5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -1$.

Для корня $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4$, то $-1 - \sqrt{17} < -1 - 4 = -5$. Следовательно, $\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < \frac{-5}{2} = -2.5$. Поскольку $-2.5 < -1$, корень $x_1$ является посторонним.

Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $-1 + \sqrt{17} > 0$, и $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2} > 0$. Поскольку $0 > -1$, корень $x_2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

132. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$;

2) $\sqrt{x-4} - \sqrt{x-11} = 1$;

3) $\sqrt{x+7} + \sqrt{3-x} = 4$;

4) $\sqrt{4x+1} + \sqrt{x+2} = 5$.

1) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под корнями должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -4 \end{cases}$. Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Перенесем один из радикалов в правую часть уравнения: $2\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{x+4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(2\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2$ $4(x-1) = 1 + 2\sqrt{x+4} + (x+4)$ $4x - 4 = x + 5 + 2\sqrt{x+4}$.

Уединим оставшийся корень и приведем подобные слагаемые: $4x - x - 4 - 5 = 2\sqrt{x+4}$ $3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$.

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо учесть, что правая часть уравнения $2\sqrt{x+4}$ неотрицательна, следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$. Это условие является более строгим, чем первоначальное ОДЗ.

Теперь возведем обе части уравнения $3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$ в квадрат: $(3x - 9)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$ $9x^2 - 54x + 81 = 4(x+4)$ $9x^2 - 54x + 81 = 4x + 16$ $9x^2 - 58x + 65 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 = 32^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{58 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$ $x_2 = \frac{58 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$. Корень $x_1 = \frac{13}{9} \approx 1.44$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, следовательно, является посторонним. Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Выполним проверку подстановкой $x=5$ в исходное уравнение: $2\sqrt{5-1} - \sqrt{5+4} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{x-4} - \sqrt{x-11} = 1$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ x-11 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge 11 \end{cases}$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 11$.

Перенесем корень в правую часть: $\sqrt{x-4} = 1 + \sqrt{x-11}$.

Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x-4})^2 = (1 + \sqrt{x-11})^2$ $x - 4 = 1 + 2\sqrt{x-11} + (x-11)$ $x - 4 = x - 10 + 2\sqrt{x-11}$.

Упростим уравнение: $-4 + 10 = 2\sqrt{x-11}$ $6 = 2\sqrt{x-11}$ $3 = \sqrt{x-11}$.

Возведем обе части в квадрат еще раз: $3^2 = (\sqrt{x-11})^2$ $9 = x - 11$ $x = 20$.

Корень $x=20$ удовлетворяет ОДЗ ($20 \ge 11$). Проверим его, подставив в исходное уравнение: $\sqrt{20-4} - \sqrt{20-11} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$. $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $20$.

3) $\sqrt{x+7} + \sqrt{3-x} = 4$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 3 \end{cases}$. Следовательно, ОДЗ: $-7 \le x \le 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+7} + \sqrt{3-x})^2 = 4^2$ $(x+7) + 2\sqrt{(x+7)(3-x)} + (3-x) = 16$.

Приведем подобные слагаемые и уединим корень: $10 + 2\sqrt{-x^2 - 4x + 21} = 16$ $2\sqrt{-x^2 - 4x + 21} = 6$ $\sqrt{-x^2 - 4x + 21} = 3$.

Возведем обе части в квадрат: $-x^2 - 4x + 21 = 9$ $-x^2 - 4x + 12 = 0$ $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($-7 \le -6 \le 3$ и $-7 \le 2 \le 3$). Поскольку мы возводили в квадрат уравнение, обе части которого были заведомо неотрицательны, посторонние корни не должны были появиться. Тем не менее, выполним проверку.

Для $x = -6$: $\sqrt{-6+7} + \sqrt{3-(-6)} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$. Верно.

Для $x = 2$: $\sqrt{2+7} + \sqrt{3-2} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4$. Верно.

Ответ: $-6; 2$.

4) $\sqrt{4x+1} + \sqrt{x+2} = 5$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 4x+1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/4 \\ x \ge -2 \end{cases}$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1/4$.

Уединим один из корней: $\sqrt{4x+1} = 5 - \sqrt{x+2}$.

Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $5 - \sqrt{x+2} \ge 0 \implies \sqrt{x+2} \le 5 \implies x+2 \le 25 \implies x \le 23$. С учетом ОДЗ получаем ограничение: $-1/4 \le x \le 23$.

Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{4x+1})^2 = (5 - \sqrt{x+2})^2$ $4x+1 = 25 - 10\sqrt{x+2} + (x+2)$ $4x+1 = x + 27 - 10\sqrt{x+2}$.

Уединим оставшийся корень: $3x - 26 = -10\sqrt{x+2}$ $26 - 3x = 10\sqrt{x+2}$.

Снова потребуем неотрицательность левой части: $26 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 26 \implies x \le \frac{26}{3}$. Объединяя все условия, получаем: $-1/4 \le x \le \frac{26}{3}$.

Возведем последнее уравнение в квадрат: $(26 - 3x)^2 = (10\sqrt{x+2})^2$ $676 - 156x + 9x^2 = 100(x+2)$ $9x^2 - 156x + 676 = 100x + 200$ $9x^2 - 256x + 476 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-256)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 476 = 65536 - 17136 = 48400 = 220^2$. Корни: $x_1 = \frac{256 - 220}{18} = \frac{36}{18} = 2$ $x_2 = \frac{256 + 220}{18} = \frac{476}{18} = \frac{238}{9}$.

Проверим корни. $x_1 = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $-1/4 \le x \le \frac{26}{3}$ (т.к. $2 \le 8.66...$). $x_2 = \frac{238}{9} \approx 26.44$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le \frac{26}{3}$, значит, он посторонний.

Проверим $x=2$ в исходном уравнении: $\sqrt{4 \cdot 2 + 1} + \sqrt{2+2} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$. $5=5$. Верно.

Ответ: $2$.

133. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-4} = \sqrt{x-7}$;

2) $\sqrt{x-6} = \sqrt{x-5} - \sqrt{2x-5}$;

3) $\sqrt{x-5} = \sqrt{2x-7} - \sqrt{x-2}$.

1) $ \sqrt{x+1}-\sqrt{x-4}=\sqrt{x-7} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \\ x-7 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему неравенств, получаем:
$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 4 \\ x \ge 7 \end{cases} \implies x \ge 7 $
Также, так как правая часть уравнения $ \sqrt{x-7} $ неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательна:
$ \sqrt{x+1}-\sqrt{x-4} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{x-4} $
Возводя обе части в квадрат, получаем $ x+1 \ge x-4 $, что упрощается до $ 1 \ge -4 $. Это неравенство верно всегда.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \ge 7 $.

Для решения уравнения перенесем один из корней в правую часть, чтобы при возведении в квадрат избавиться от одного из корней:
$ \sqrt{x+1} = \sqrt{x-7} + \sqrt{x-4} $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{x-7} + \sqrt{x-4})^2 $
$ x+1 = (x-7) + 2\sqrt{(x-7)(x-4)} + (x-4) $
$ x+1 = 2x - 11 + 2\sqrt{x^2 - 11x + 28} $
Уединим оставшийся корень:
$ 12 - x = 2\sqrt{x^2 - 11x + 28} $
Поскольку правая часть неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $ 12 - x \ge 0 \implies x \le 12 $.
С учетом ОДЗ ($ x \ge 7 $), получаем ограничение для корней: $ 7 \le x \le 12 $.
Снова возведем обе части в квадрат:
$ (12 - x)^2 = (2\sqrt{x^2 - 11x + 28})^2 $
$ 144 - 24x + x^2 = 4(x^2 - 11x + 28) $
$ 144 - 24x + x^2 = 4x^2 - 44x + 112 $
$ 3x^2 - 20x - 32 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 400 + 384 = 784 = 28^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 28}{6} = \frac{48}{6} = 8 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 28}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $

Проверим найденные корни. Корень $ x_1 = 8 $ удовлетворяет условию $ 7 \le x \le 12 $.
Корень $ x_2 = -4/3 $ не удовлетворяет этому условию, поэтому является посторонним.

Выполним проверку для $ x = 8 $, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{8+1} - \sqrt{8-4} = \sqrt{8-7} $
$ \sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{1} $
$ 3 - 2 = 1 $
$ 1 = 1 $ (верно)

Ответ: 8

2) $ \sqrt{x-6}=\sqrt{x-5}-\sqrt{2x-5} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x-6 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \\ 2x-5 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 6 \\ x \ge 5 \\ x \ge 2.5 \end{cases} \implies x \ge 6 $
Левая часть уравнения $ \sqrt{x-6} $ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной:
$ \sqrt{x-5} - \sqrt{2x-5} \ge 0 \implies \sqrt{x-5} \ge \sqrt{2x-5} $
Возведем обе части в квадрат:
$ x-5 \ge 2x-5 \implies 0 \ge x \implies x \le 0 $
Теперь объединим все условия: $ x \ge 6 $ и $ x \le 0 $. Эти два условия не могут выполняться одновременно, так как их пересечение является пустым множеством ($ [6, +\infty) \cap (-\infty, 0] = \emptyset $).
Следовательно, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет корней

3) $ \sqrt{x-5}=\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-2} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 2x-7 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \ge 3.5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 5 $
Левая часть уравнения $ \sqrt{x-5} $ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной:
$ \sqrt{2x-7} - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{2x-7} \ge \sqrt{x-2} $
Возведем обе части в квадрат:
$ 2x-7 \ge x-2 \implies x \ge 5 $
Это условие совпадает с найденной ранее областью определения. Итак, ОДЗ: $ x \ge 5 $.

Перенесем корень из правой части в левую:
$ \sqrt{x-5} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-7} $
Возведем обе части в квадрат:
$ (\sqrt{x-5} + \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x-7})^2 $
$ (x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x-2)} + (x-2) = 2x-7 $
$ 2x - 7 + 2\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 2x-7 $
$ 2\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 $
$ \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 $
$ x^2 - 7x + 10 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни:
$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 5 $

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($ x \ge 5 $).
$ x_1 = 2 $ не принадлежит ОДЗ, значит, это посторонний корень.
$ x_2 = 5 $ принадлежит ОДЗ.

Проверим корень $ x = 5 $ подстановкой в исходное уравнение:
$ \sqrt{5-5} = \sqrt{2 \cdot 5 - 7} - \sqrt{5-2} $
$ \sqrt{0} = \sqrt{10-7} - \sqrt{3} $
$ 0 = \sqrt{3} - \sqrt{3} $
$ 0 = 0 $ (верно)

Ответ: 5

134. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+2} > 5;$

2) $\sqrt{x+2} < 5;$

3) $\sqrt{x+2} > -3;$

4) $\sqrt{x+2} < -3.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x+2} > 5$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой подкоренное выражение неотрицательно:
$x+2 \ge 0$
$x \ge -2$
Так как обе части неравенства ($\sqrt{x+2}$ и 5) неотрицательны, можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x+2})^2 > 5^2$
$x+2 > 25$
$x > 23$
Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Условия $x > 23$ и $x \ge -2$ одновременно выполняются при $x > 23$.
Ответ: $(23; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x+2} < 5$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Возведем обе части неравенства в квадрат, так как они обе неотрицательны:
$(\sqrt{x+2})^2 < 5^2$
$x+2 < 25$
$x < 23$
Учитывая ОДЗ ($x \ge -2$) и полученное решение ($x < 23$), находим их пересечение: $-2 \le x < 23$.
Ответ: $[-2; 23)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x+2} > -3$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x+2}$ всегда принимает неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x+2} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Правая часть неравенства равна -3, что является отрицательным числом. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство справедливо для всех допустимых значений $x$.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x+2} < -3$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Левая часть неравенства, $\sqrt{x+2}$, по определению, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть неравенства — отрицательное число (-3). Неравенство утверждает, что неотрицательное число должно быть меньше отрицательного, что невозможно. Таким образом, у данного неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

135. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - 10} > \sqrt{6 - x};$

2) $\sqrt{2x - 1} < \sqrt{x - 4};$

3) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} < \sqrt{4x - 14};$

4) $\sqrt{2x^2 + 6x + 3} \ge \sqrt{-x^2 - 4x}.$

1) $\sqrt{3x-10} > \sqrt{6-x}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны в области определения:

$\begin{cases} 3x - 10 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \\ 3x - 10 > 6 - x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - 10 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 10 \Rightarrow x \ge \frac{10}{3}$

2) $6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$

3) $3x - 10 > 6 - x \Rightarrow 4x > 16 \Rightarrow x > 4$

Найдем пересечение решений. На числовой оси отметим все три условия: $x \ge \frac{10}{3}$, $x \le 6$ и $x > 4$. Так как $4 > \frac{10}{3}$, то условие $x>4$ является более строгим, чем $x \ge \frac{10}{3}$.

Таким образом, общее решение системы есть пересечение $x > 4$ и $x \le 6$, что дает $4 < x \le 6$.

Ответ: $(4; 6]$.

2) $\sqrt{2x-1} < \sqrt{x-4}$

Неравенство равносильно системе, включающей условия существования корней и результат возведения в квадрат обеих неотрицательных частей:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ 2x - 1 < x - 4 \end{cases}$

Решим систему:

1) $2x - 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$

2) $x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$

3) $2x - 1 < x - 4 \Rightarrow x < -3$

Необходимо найти пересечение трех множеств: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$, $x \in [4; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -3)$. Пересечение первых двух множеств дает $x \in [4; +\infty)$. Это множество не имеет общих точек с множеством $(-\infty; -3)$.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

3) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} < \sqrt{4x - 14}$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ 4x - 14 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 6 < 4x - 14 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.

2) $4x - 14 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 14 \Rightarrow x \ge 3,5$.

3) $x^2 - 5x + 6 < 4x - 14 \Rightarrow x^2 - 9x + 20 < 0$. Корни трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=4$ и $x_2=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (4; 5)$.

Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty; 2] \cup [3; \infty)) \cap [3,5; \infty) \cap (4; 5)$.

Пересечение $[3,5; \infty)$ и $(4; 5)$ дает интервал $(4; 5)$.

Этот интервал $(4; 5)$ полностью содержится в множестве $(-\infty; 2] \cup [3; \infty)$, так как он является частью луча $[3; \infty)$.

Следовательно, решением системы является интервал $(4; 5)$.

Ответ: $(4; 5)$.

4) $\sqrt{2x^2 + 6x + 3} \ge \sqrt{-x^2 - 4x}$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x^2 + 6x + 3 \ge 0 \\ -x^2 - 4x \ge 0 \\ 2x^2 + 6x + 3 \ge -x^2 - 4x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x^2 + 6x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 + 6x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; \infty)$.

2) $-x^2 - 4x \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4x \le 0 \Rightarrow x(x+4) \le 0$. Корни $x=0$ и $x=-4$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in [-4; 0]$.

3) $2x^2 + 6x + 3 \ge -x^2 - 4x \Rightarrow 3x^2 + 10x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $x_1 = \frac{-10 - 8}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{3}; \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений. Сначала найдем пересечение решений 2) и 3):

$[-4; 0] \cap ((-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{3}; \infty)) = [-4; -3] \cup [-\frac{1}{3}; 0]$.

Теперь пересечем полученное множество с решением 1). Сравним значения: $\frac{-3 - \sqrt{3}}{2} \approx \frac{-3 - 1,73}{2} \approx -2,365$. Это значение больше -3. $\frac{-3 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{-3 + 1,73}{2} \approx -0,635$. Это значение меньше $-\frac{1}{3} \approx -0,333$.

Пересечение отрезка $[-4; -3]$ с множеством $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; \infty)$ дает отрезок $[-4; -3]$, так как $-3 < \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$.

Пересечение отрезка $[-\frac{1}{3}; 0]$ с множеством $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; \infty)$ дает отрезок $[-\frac{1}{3}; 0]$, так как $-\frac{1}{3} > \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $[-4; -3] \cup [-\frac{1}{3}; 0]$.

136. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+12} < 8-x$;

2) $\sqrt{2x-1} < x-2$;

3) $\sqrt{1-x^2} < 4-x$;

4) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$.

1) Решим неравенство $\sqrt{x + 12} < 8 - x$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае получаем систему:

$ \begin{cases} x + 12 \ge 0 \\ 8 - x > 0 \\ x + 12 < (8 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x + 12 \ge 0 \implies x \ge -12$.
2. $8 - x > 0 \implies x < 8$.
3. $x + 12 < 64 - 16x + x^2$. Перенесем все члены в правую часть: $x^2 - 17x + 52 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 17x + 52 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{17 - 9}{2} = 4$, $x_2 = \frac{17 + 9}{2} = 13$.
Поскольку парабола $y = x^2 - 17x + 52$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 17x + 52 > 0$ выполняется при $x < 4$ или $x > 13$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \ge -12$, $x < 8$ и $x \in (-\infty; 4) \cup (13; +\infty)$.
Из первых двух неравенств получаем $x \in [-12; 8)$.
Пересекая этот интервал с множеством $(-\infty; 4) \cup (13; +\infty)$, получаем итоговое решение $x \in [-12; 4)$.

Ответ: $[-12; 4)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{2x - 1} < x - 2$.

Это неравенство также равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ 2x - 1 < (x - 2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:
1. $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
2. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3. $2x - 1 < x^2 - 4x + 4$. Перенесем все члены в правую часть: $x^2 - 6x + 5 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Решение неравенства $x^2 - 6x + 5 > 0$: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $x \ge \frac{1}{2}$, $x > 2$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Из первых двух неравенств следует $x > 2$.
Пересекая интервал $(2; +\infty)$ с множеством $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$, получаем $x \in (5; +\infty)$.

Ответ: $(5; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{1 - x^2} < 4 - x$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \\ 1 - x^2 < (4 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:
1. $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1; 1]$.
2. $4 - x > 0 \implies x < 4$.
3. $1 - x^2 < 16 - 8x + x^2$. Перенесем все члены в правую часть: $2x^2 - 8x + 15 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 8x + 15$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 64 - 120 = -56$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$), то трехчлен $2x^2 - 8x + 15$ положителен при любых значениях $x$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in [-1; 1]$, $x < 4$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Пересечением этих трех множеств является интервал $[-1; 1]$.

Ответ: $[-1; 1]$.

4) Решим неравенство $\sqrt{2x^2 - 11x + 9} \le x - 3$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае получаем систему:

$ \begin{cases} 2x^2 - 11x + 9 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 11x + 9 \le (x - 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:
1. $2x^2 - 11x + 9 \ge 0$. Корни уравнения $2x^2 - 11x + 9 = 0$: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$, $x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [4.5; +\infty)$.
2. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
3. $2x^2 - 11x + 9 \le x^2 - 6x + 9$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 5x \le 0$, или $x(x - 5) \le 0$. Решение этого неравенства: $x \in [0; 5]$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty; 1] \cup [4.5; +\infty)$, $x \ge 3$ и $x \in [0; 5]$.
Пересечение второго и третьего неравенств ($x \ge 3$ и $x \in [0; 5]$) дает $x \in [3; 5]$.
Теперь пересечем этот результат с решением первого неравенства: $[3; 5] \cap ((-\infty; 1] \cup [4.5; +\infty))$.
Пересечение дает итоговый ответ $[4.5; 5]$.

Ответ: $[4.5; 5]$.

137. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+33} > x+3;$

2) $\sqrt{16-5x} \ge x-2;$

3) $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3;$

4) $\sqrt{-x^2-2x+8} \ge x+4.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x+33} > x+3$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, оно равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = x+33$ и $g(x) = x+3$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x+3 < 0 \\ x+33 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \geq -33 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-33, -3)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ x+33 > (x+3)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x+33 > x^2 + 6x + 9$

$0 > x^2 + 5x - 24$

$x^2 + 5x - 24 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$.

Поскольку парабола $y = x^2 + 5x - 24$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + 5x - 24 < 0$ выполняется при $x \in (-8, 3)$.

Теперь найдем решение второй системы, объединив условия:

$\begin{cases} x \geq -3 \\ -8 < x < 3 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-3, 3)$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем:

$[-33, -3) \cup [-3, 3) = [-33, 3)$.

Ответ: $x \in [-33, 3)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{16-5x} \geq x-2$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$, оно равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 16-5x$ и $g(x) = x-2$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x-2 < 0 \\ 16-5x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 16 \geq 5x \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \leq 3.2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in (-\infty, 2)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 16-5x \geq (x-2)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$16-5x \geq x^2 - 4x + 4$

$0 \geq x^2 + x - 12$

$x^2 + x - 12 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-12) = 49$. Корни $x_1 = \frac{-1-7}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-1+7}{2} = 3$.

Решением неравенства $x^2 + x - 12 \leq 0$ является отрезок $[-4, 3]$.

Теперь найдем решение второй системы, объединив условия:

$\begin{cases} x \geq 2 \\ -4 \leq x \leq 3 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [2, 3]$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем:

$(-\infty, 2) \cup [2, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x^2+4x-5 \geq 0$

Корнями уравнения $x^2+4x-5=0$ являются $x_1=-5$ и $x_2=1$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем (с учетом ОДЗ):

а) $\begin{cases} x-3 < 0 \\ x^2+4x-5 \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x^2+4x-5 > (x-3)^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x < 3 \\ x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty) \end{cases}$

Решением этой системы является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [1, 3)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \geq 3 \\ x^2+4x-5 > x^2-6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 3 \\ 10x > 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 3 \\ x > 1.4 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [3, \infty)$. Это решение входит в ОДЗ.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем:

$(-\infty, -5] \cup [1, 3) \cup [3, \infty) = (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{-x^2-2x+8} \geq x+4$.

Найдем ОДЗ: $-x^2-2x+8 \geq 0 \implies x^2+2x-8 \leq 0$.

Корнями уравнения $x^2+2x-8=0$ являются $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-4, 2]$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем (с учетом ОДЗ):

а) $\begin{cases} x+4 < 0 \\ -x^2-2x+8 \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} x+4 \geq 0 \\ -x^2-2x+8 \geq (x+4)^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x < -4 \\ x \in [-4, 2] \end{cases}$

Эта система не имеет решений.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ -x^2-2x+8 \geq x^2+8x+16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -4 \\ 0 \geq 2x^2+10x+8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -4 \\ x^2+5x+4 \leq 0 \end{cases}$

Решим неравенство $x^2+5x+4 \leq 0$. Корни уравнения $x^2+5x+4=0$ равны $x_1=-4$ и $x_2=-1$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-4, -1]$.

Найдем решение второй системы, объединив условия и ОДЗ:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ x \in [-4, -1] \\ x \in [-4, 2] \end{cases}$

Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [-4, -1]$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем, то есть решение второй системы.

Ответ: $x \in [-4, -1]$.

138. Решите неравенство:

1) $(4 - 3x)\sqrt{x} \geq 0;$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 6 < 0;$

3) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x+15} \leq 6.$

1) $(4-3x)\sqrt{x} \geq 0$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x \geq 0$

2. Неравенство представляет собой произведение двух множителей: $(4-3x)$ и $\sqrt{x}$. Произведение неотрицательно, если множители имеют одинаковые знаки, или один из них равен нулю.

Поскольку по ОДЗ $x \geq 0$, то множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, т.е. $\sqrt{x} \geq 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай а: $\sqrt{x} = 0$.

Это равенство достигается при $x=0$. Подставим это значение в исходное неравенство: $(4-3\cdot0)\sqrt{0} = 4 \cdot 0 = 0$. Условие $0 \geq 0$ выполняется, следовательно, $x=0$ является решением.

Случай б: $\sqrt{x} > 0$.

Это условие выполняется при $x > 0$. Так как $\sqrt{x}$ — положительное число, мы можем разделить обе части неравенства на $\sqrt{x}$, не меняя знака неравенства:

$4-3x \geq 0$

Перенесем $3x$ в правую часть:

$4 \geq 3x$

$x \leq \frac{4}{3}$

3. Объединим результаты. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям из случая б: $x > 0$ и $x \leq \frac{4}{3}$. Это интервал $(0, \frac{4}{3}]$.

Итоговое решение является объединением решения из первого случая ($x=0$) и второго случая ($(0, \frac{4}{3}]$):

$x \in [0, \frac{4}{3}]$

Ответ: $[0, \frac{4}{3}]$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 6 \leq 0$

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех действительных чисел $x$, а выражение $\sqrt[6]{x}$ — только для неотрицательных $x$. Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \geq 0$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как по ОДЗ $x \geq 0$, то и $t \geq 0$.

Выразим $\sqrt[3]{x}$ через $t$: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$.

Подставим замену в исходное неравенство:

$t^2 + t - 6 \leq 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство относительно $t$. Сначала найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

График функции $y = t^2 + t - 6$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \leq 0 $) между корнями, включая сами корни:

$-3 \leq t \leq 2$

4. Вернемся к замене, учитывая условие $t \geq 0$.

Получаем систему неравенств для $t$:

$\left\{ \begin{array}{l} -3 \leq t \leq 2, \\ t \geq 0 \end{array} \right.$

Решением этой системы является промежуток $0 \leq t \leq 2$.

5. Подставим обратно $\sqrt[6]{x}$ вместо $t$:

$0 \leq \sqrt[6]{x} \leq 2$

Неравенство $0 \leq \sqrt[6]{x}$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Остается решить неравенство $\sqrt[6]{x} \leq 2$.

Возведем обе части в шестую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[6]{x})^6 \leq 2^6$

$x \leq 64$

6. Учтем ОДЗ ($x \geq 0$). Объединяя условие $x \leq 64$ и ОДЗ $x \geq 0$, получаем итоговое решение:

$0 \leq x \leq 64$

Ответ: $[0, 64]$

3) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x+15} \leq 6$

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$\left\{ \begin{array}{l} x+3 \geq 0 \\ x+15 \geq 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x \geq -3 \\ x \geq -15 \end{array} \right.$

Пересечением этих двух условий является $x \geq -3$. Итак, ОДЗ: $x \in [-3, \infty)$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt{x+15}$. Функции $y_1 = \sqrt{x+3}$ и $y_2 = \sqrt{x+15}$ являются возрастающими на всей своей области определения. Их сумма $f(x)$ также является возрастающей функцией.

3. Решим соответствующее уравнение, чтобы найти пограничную точку:

$\sqrt{x+3} + \sqrt{x+15} = 6$

Уединим один из корней:

$\sqrt{x+15} = 6 - \sqrt{x+3}$

Возведем обе части в квадрат. Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $6 - \sqrt{x+3} \geq 0 \implies \sqrt{x+3} \leq 6 \implies x+3 \leq 36 \implies x \leq 33$.

$(\sqrt{x+15})^2 = (6 - \sqrt{x+3})^2$

$x+15 = 36 - 12\sqrt{x+3} + (x+3)$

$x+15 = 39 + x - 12\sqrt{x+3}$

$12\sqrt{x+3} = 39 - 15$

$12\sqrt{x+3} = 24$

$\sqrt{x+3} = 2$

Возведем обе части в квадрат еще раз:

$x+3 = 4$

$x = 1$

Проверим, что $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \geq -3$) и условию возведения в квадрат ($1 \leq 33$). Условия выполнены.

4. Мы нашли, что $f(1) = 6$. Так как функция $f(x)$ возрастающая, то неравенство $f(x) \leq 6$ будет выполняться при всех $x \leq 1$ из области определения функции.

5. Объединим полученное решение $x \leq 1$ с ОДЗ $x \geq -3$:

$\left\{ \begin{array}{l} x \leq 1, \\ x \geq -3 \end{array} \right.$

Итоговое решение: $-3 \leq x \leq 1$.

Ответ: $[-3, 1]$

139. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $a\sqrt{x-2} < 1;$

2) $(a+1)\sqrt{2-x} \ge 1.$

1) $a\sqrt{x-2} < 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-2} < 1$, что равносильно $0 < 1$. Это верное неравенство для любого $x$ из ОДЗ. Следовательно, решение: $x \in [2; +\infty)$.

Случай 2: $a < 0$.
Левая часть неравенства $a\sqrt{x-2}$ является произведением отрицательного числа $a$ и неотрицательного $\sqrt{x-2}$, поэтому $a\sqrt{x-2} \le 0$. Любое неположительное число меньше 1, поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, решение: $x \in [2; +\infty)$.

Объединяя первые два случая, получаем, что при $a \le 0$ решением является $x \in [2; +\infty)$.

Случай 3: $a > 0$.
Разделим обе части неравенства на положительное число $a$: $\sqrt{x-2} < \frac{1}{a}$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $x-2 < \left(\frac{1}{a}\right)^2$
$x-2 < \frac{1}{a^2}$
$x < 2 + \frac{1}{a^2}$.
Учитывая ОДЗ $x \ge 2$, получаем итоговое решение для этого случая: $2 \le x < 2 + \frac{1}{a^2}$.

Ответ: при $a \le 0$ решение $x \in [2; +\infty)$; при $a > 0$ решение $x \in [2; 2 + \frac{1}{a^2})$.

2) $(a+1)\sqrt{2-x} \ge 1$

ОДЗ: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $a+1$.

Случай 1: $a+1 \le 0$, то есть $a \le -1$.
В этом случае множитель $a+1$ неположителен, а $\sqrt{2-x}$ неотрицателен. Их произведение $(a+1)\sqrt{2-x}$ будет неположительным (меньше или равно нулю). Неравенство "неположительное число $\ge 1$" никогда не выполняется. Следовательно, при $a \le -1$ решений нет.

Случай 2: $a+1 > 0$, то есть $a > -1$.
Разделим обе части неравенства на положительное число $a+1$: $\sqrt{2-x} \ge \frac{1}{a+1}$.
Поскольку обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $2-x \ge \frac{1}{(a+1)^2}$.
Выразим $x$: $-x \ge \frac{1}{(a+1)^2} - 2$
$x \le 2 - \frac{1}{(a+1)^2}$.
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \le 2$), так как $2 - \frac{1}{(a+1)^2} < 2$.

Ответ: при $a \le -1$ решений нет; при $a > -1$ решение $x \in (-\infty; 2 - \frac{1}{(a+1)^2}]$.