Страница 20 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{4}{\sqrt[3]{5}-1} $

2) $ \frac{8}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}+1} $

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt[3]{5}-1}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае знаменатель $(\sqrt[3]{5}-1)$ представляет собой множитель $(a-b)$, где $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = 1$. Чтобы получить в знаменателе целое число, необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, которым является неполный квадрат суммы: $a^2+ab+b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 + \sqrt[3]{5} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1$.

Выполним умножение:
$\frac{4}{\sqrt[3]{5}-1} = \frac{4 \cdot (\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{5}-1) \cdot (\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{5})^3 - 1^3} = \frac{4(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1)}{4}$

Сократив дробь на 4, получаем: $\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1$.

Ответ: $\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1$.

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8}{\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1}$, заметим, что знаменатель $\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1$ представляет собой неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{5})^2 + \sqrt[3]{5} \cdot 1 + 1^2$. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = 1$. Чтобы получить в знаменателе целое число, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(a-b) = (\sqrt[3]{5}-1)$.

Выполним умножение:
$\frac{8}{\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1} = \frac{8 \cdot (\sqrt[3]{5}-1)}{(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} + 1) \cdot (\sqrt[3]{5}-1)} = \frac{8(\sqrt[3]{5}-1)}{(\sqrt[3]{5})^3 - 1^3} = \frac{8(\sqrt[3]{5}-1)}{5-1} = \frac{8(\sqrt[3]{5}-1)}{4}$

Сократив дробь на 4, получаем: $2(\sqrt[3]{5}-1) = 2\sqrt[3]{5} - 2$.

Ответ: $2(\sqrt[3]{5}-1)$.

107. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{8a^4}$;

2) $\sqrt[4]{x^9}$;

3) $\sqrt[3]{-a^{10}}$;

4) $\sqrt[4]{x^6y^5}$;

5) $\sqrt[4]{320x^{10}y^{13}}$;

6) $\sqrt[3]{250m^7n^{20}}$;

7) $\sqrt[4]{-16x^7}$;

8) $\sqrt[6]{a^{26}b^{13}}$;

9) $\sqrt[4]{a^5b^5}$, если $a \le 0$;

10) $\sqrt[4]{a^6b^5}$, если $a \le 0$;

11) $\sqrt[6]{a^7b^{14}c^{18}}$, если $c < 0$;

12) $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}}$, если $b \le 0$.

1) Представим подкоренное выражение $\sqrt{8a^4}$ в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.
$8a^4 = 4 \cdot 2 \cdot (a^2)^2 = 2^2 \cdot 2 \cdot (a^2)^2$.
$\sqrt{8a^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a^4} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$, получаем:
$\sqrt{4} = 2$.
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$, так как $a^2$ всегда неотрицательно.
Следовательно, $\sqrt{8a^4} = 2a^2\sqrt{2}$.
Ответ: $2a^2\sqrt{2}$.

2) Для того чтобы выражение $\sqrt[4]{x^9}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^9 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 0$.
Представим $x^9$ в виде $x^8 \cdot x$.
$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{x}$.
$\sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2$.
Следовательно, $\sqrt[4]{x^9} = x^2\sqrt[4]{x}$.
Ответ: $x^2\sqrt[4]{x}$.

3) Корень нечетной степени ($\sqrt[3]{...}$) определен для любых действительных чисел.
$\sqrt[3]{-a^{10}} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^{10}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{a^{10}} = -1 \cdot \sqrt[3]{a^{10}} = -\sqrt[3]{a^{10}}$.
Представим $a^{10}$ как $a^9 \cdot a$.
$-\sqrt[3]{a^{10}} = -\sqrt[3]{a^9 \cdot a} = -\sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{a}$.
$\sqrt[3]{a^9} = \sqrt[3]{(a^3)^3} = a^3$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-a^{10}} = -a^3\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $-a^3\sqrt[3]{a}$.

4) Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным: $x^6y^5 \ge 0$. Так как $x^6 \ge 0$ для любого $x$, то должно выполняться условие $y^5 \ge 0$, то есть $y \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде $x^6y^5 = x^4 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y$.
$\sqrt[4]{x^6y^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot y^4 \cdot x^2y} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{x^2y}$.
$\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
$\sqrt[4]{y^4} = |y|$. Поскольку $y \ge 0$, то $|y| = y$.
Следовательно, $\sqrt[4]{x^6y^5} = |x|y\sqrt[4]{x^2y}$.
Ответ: $|x|y\sqrt[4]{x^2y}$.

5) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $320x^{10}y^{13} \ge 0$. Так как $320 > 0$ и $x^{10} \ge 0$, то $y^{13} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Разложим на множители: $320 = 16 \cdot 20 = 2^4 \cdot 20$; $x^{10} = x^8 \cdot x^2 = (x^2)^4 \cdot x^2$; $y^{13} = y^{12} \cdot y = (y^3)^4 \cdot y$.
$\sqrt[4]{320x^{10}y^{13}} = \sqrt[4]{16 \cdot 20 \cdot x^8 \cdot x^2 \cdot y^{12} \cdot y} = \sqrt[4]{16 \cdot x^8 \cdot y^{12} \cdot 20x^2y}$.
$\sqrt[4]{16 \cdot x^8 \cdot y^{12}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{y^{12}} = 2 \cdot |x^2| \cdot |y^3| = 2x^2y^3$ (так как $x^2 \ge 0$ и $y \ge 0 \Rightarrow y^3 \ge 0$).
Следовательно, $\sqrt[4]{320x^{10}y^{13}} = 2x^2y^3\sqrt[4]{20x^2y}$.
Ответ: $2x^2y^3\sqrt[4]{20x^2y}$.

6) Корень нечетной степени определен для любых $m$ и $n$.
Разложим на множители: $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$; $m^7 = m^6 \cdot m = (m^2)^3 \cdot m$; $n^{20} = n^{18} \cdot n^2 = (n^6)^3 \cdot n^2$.
$\sqrt[3]{250m^7n^{20}} = \sqrt[3]{125 \cdot 2 \cdot m^6 \cdot m \cdot n^{18} \cdot n^2} = \sqrt[3]{125 \cdot m^6 \cdot n^{18} \cdot 2mn^2}$.
$\sqrt[3]{125 \cdot m^6 \cdot n^{18}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^6)^3} = 5m^2n^6$.
Следовательно, $\sqrt[3]{250m^7n^{20}} = 5m^2n^6\sqrt[3]{2mn^2}$.
Ответ: $5m^2n^6\sqrt[3]{2mn^2}$.

7) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-16x^7 \ge 0 \Rightarrow x^7 \le 0 \Rightarrow x \le 0$.
Разложим подкоренное выражение: $-16x^7 = 16 \cdot (-x^7) = 16 \cdot x^4 \cdot (-x^3)$.
$\sqrt[4]{-16x^7} = \sqrt[4]{16 \cdot x^4 \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$.
$\sqrt[4]{16}=2$; $\sqrt[4]{x^4}=|x|$.
Поскольку $x \le 0$, то $|x| = -x$.
Следовательно, $\sqrt[4]{-16x^7} = 2(-x)\sqrt[4]{-x^3} = -2x\sqrt[4]{-x^3}$.
Ответ: $-2x\sqrt[4]{-x^3}$.

8) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{26}b^{13} \ge 0$. Так как $a^{26} \ge 0$, то $b^{13} \ge 0 \Rightarrow b \ge 0$.
Разложим на множители: $a^{26} = a^{24} \cdot a^2 = (a^4)^6 \cdot a^2$; $b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^2)^6 \cdot b$.
$\sqrt[6]{a^{26}b^{13}} = \sqrt[6]{a^{24} \cdot b^{12} \cdot a^2b} = \sqrt[6]{a^{24}} \cdot \sqrt[6]{b^{12}} \cdot \sqrt[6]{a^2b}$.
$\sqrt[6]{a^{24}} = |a^4| = a^4$; $\sqrt[6]{b^{12}} = |b^2| = b^2$.
Следовательно, $\sqrt[6]{a^{26}b^{13}} = a^4b^2\sqrt[6]{a^2b}$.
Ответ: $a^4b^2\sqrt[6]{a^2b}$.

9) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^5b^5 = (ab)^5 \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0$.
По условию $a \le 0$. Чтобы произведение $ab$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $b \le 0$.
$\sqrt[4]{a^5b^5} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab} = \sqrt[4]{(ab)^4} \cdot \sqrt[4]{ab} = |ab|\sqrt[4]{ab}$.
Так как $a \le 0$ и $b \le 0$, то $ab \ge 0$, поэтому $|ab| = ab$.
Следовательно, $\sqrt[4]{a^5b^5} = ab\sqrt[4]{ab}$.
Ответ: $ab\sqrt[4]{ab}$.

10) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^6b^5 \ge 0$. Так как $a^6 \ge 0$, то $b^5 \ge 0 \Rightarrow b \ge 0$.
По условию $a \le 0$.
$\sqrt[4]{a^6b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{a^2b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[4]{a^2b}$.
С учетом условий $a \le 0$ и $b \ge 0$: $|a| = -a$ и $|b| = b$.
Следовательно, $\sqrt[4]{a^6b^5} = (-a)b\sqrt[4]{a^2b} = -ab\sqrt[4]{a^2b}$.
Ответ: $-ab\sqrt[4]{a^2b}$.

11) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^7b^{14}c^{18} \ge 0$. Так как $b^{14} \ge 0$ и $c^{18} \ge 0$, то $a^7 \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$.
По условию $c < 0$.
$\sqrt[6]{a^7b^{14}c^{18}} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a \cdot b^{12} \cdot b^2 \cdot c^{18}} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{b^{12}} \cdot \sqrt[6]{c^{18}} \cdot \sqrt[6]{ab^2}$.
$\sqrt[6]{a^6} = |a|$; $\sqrt[6]{b^{12}} = |b^2| = b^2$; $\sqrt[6]{c^{18}} = |c^3|$.
С учетом условий $a \ge 0$ и $c < 0$: $|a| = a$, а так как $c^3 < 0$, то $|c^3| = -c^3$.
Следовательно, $\sqrt[6]{a^7b^{14}c^{18}} = a \cdot b^2 \cdot (-c^3) \sqrt[6]{ab^2} = -ab^2c^3\sqrt[6]{ab^2}$.
Ответ: $-ab^2c^3\sqrt[6]{ab^2}$.

12) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{17}b^{26} \ge 0$. Так как $b^{26} \ge 0$, то $-a^{17} \ge 0 \Rightarrow a^{17} \le 0 \Rightarrow a \le 0$.
По условию $b \le 0$.
$\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}} = \sqrt[8]{a^{16} \cdot (-a) \cdot b^{24} \cdot b^2} = \sqrt[8]{a^{16} \cdot b^{24} \cdot (-ab^2)}$.
$\sqrt[8]{a^{16} \cdot b^{24}} = \sqrt[8]{a^{16}} \cdot \sqrt[8]{b^{24}} = |a^2| \cdot |b^3| = a^2 \cdot |b^3|$.
С учетом условия $b \le 0$, имеем $b^3 \le 0$, поэтому $|b^3| = -b^3$.
Следовательно, $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}} = a^2(-b^3)\sqrt[8]{-ab^2} = -a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.
Ответ: $-a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.

108. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{6};$

2) $m\sqrt{-m^3};$

3) $m^4\sqrt[4]{m^5};$

4) $3y^5\sqrt[5]{2y^2};$

5) $a^9\sqrt{6a};$

6) $2b^4\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}};$

7) $c^8\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0;$

8) $xy^6\sqrt[6]{xy^4}$, если $y > 0;$

9) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0.$

1) $m\sqrt{6}$

Чтобы внести множитель $m$ под знак квадратного корня (корень четной степени), нужно рассмотреть два случая, так как знак $m$ неизвестен.

Случай 1: $m \ge 0$. В этом случае множитель вносится под корень возведением в квадрат:
$m\sqrt{6} = \sqrt{m^2 \cdot 6} = \sqrt{6m^2}$.

Случай 2: $m < 0$. В этом случае $m$ можно представить как $m = -|m|$. Перед корнем остается знак "минус", а под корень вносится положительное число $|m|$:
$m\sqrt{6} = -|m|\sqrt{6} = -\sqrt{|m|^2 \cdot 6} = -\sqrt{m^2 \cdot 6} = -\sqrt{6m^2}$.

Ответ: $ \sqrt{6m^2} $, если $m \ge 0$; $-\sqrt{6m^2} $, если $m < 0$.

2) $m\sqrt{-m^3}$

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $-m^3 \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $m \le 0$.
Поскольку $m \le 0$ и корень четной степени, при внесении множителя $m$ под корень перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится $|m| = -m$:
$m\sqrt{-m^3} = -(-m)\sqrt{-m^3} = -\sqrt{(-m)^2 \cdot (-m^3)} = -\sqrt{m^2 \cdot (-m^3)} = -\sqrt{-m^5}$.

Ответ: $-\sqrt{-m^5}$.

3) $m\sqrt[4]{m^5}$

Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $m^5 \ge 0$, что выполняется при $m \ge 0$.
Так как $m \ge 0$ и корень четной степени, множитель $m$ вносится под знак корня возведением в четвертую степень:
$m\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m^5} = \sqrt[4]{m^{4+5}} = \sqrt[4]{m^9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{m^9}$.

4) $3y\sqrt[5]{2y^2}$

Корень пятой степени является корнем нечетной степени, поэтому множитель $3y$ можно вносить под знак корня независимо от его знака, возводя в пятую степень:
$3y\sqrt[5]{2y^2} = \sqrt[5]{(3y)^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{3^5 \cdot y^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{243 \cdot 2 \cdot y^{5+2}} = \sqrt[5]{486y^7}$.

Ответ: $\sqrt[5]{486y^7}$.

5) $a\sqrt[9]{6a}$

Корень девятой степени — нечетный, поэтому множитель $a$ вносится под корень возведением в девятую степень без учета знака:
$a\sqrt[9]{6a} = \sqrt[9]{a^9 \cdot 6a} = \sqrt[9]{6a^{10}}$.

Ответ: $\sqrt[9]{6a^{10}}$.

6) $2b^4\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}}$

Корень третьей степени — нечетный. Множитель $2b^4$ вносим под знак корня, возведя его в третью степень. Заметим, что $b \neq 0$.
$2b^4\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}} = \sqrt[3]{(2b^4)^3 \cdot \frac{3}{4b^2}} = \sqrt[3]{8b^{12} \cdot \frac{3}{4b^2}} = \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 3 \cdot b^{12}}{4b^2}} = \sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot b^{12-2}} = \sqrt[3]{6b^{10}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6b^{10}}$.

7) $c\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0$

Корень восьмой степени — четный. По условию, множитель $c$ является неположительным ($c \le 0$). При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится модуль этого множителя:
$c\sqrt[8]{c^6} = -(-c)\sqrt[8]{c^6} = -\sqrt[8]{(-c)^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^{8+6}} = -\sqrt[8]{c^{14}}$.

Ответ: $-\sqrt[8]{c^{14}}$.

8) $xy\sqrt[6]{xy^4}$, если $y > 0$

Корень шестой степени — четный. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $xy^4 \ge 0$. Так как по условию $y > 0$, то $y^4 > 0$, следовательно, $x \ge 0$.
Поскольку $x \ge 0$ и $y > 0$, то множитель $xy$ является неотрицательным ($xy \ge 0$). Значит, его можно внести под знак корня, возведя в шестую степень:
$xy\sqrt[6]{xy^4} = \sqrt[6]{(xy)^6 \cdot xy^4} = \sqrt[6]{x^6 y^6 \cdot xy^4} = \sqrt[6]{x^{6+1}y^{6+4}} = \sqrt[6]{x^7y^{10}}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x^7y^{10}}$.

9) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0$

Корень десятой степени — четный. Определим знак множителя $x^3y^7$.
По условию $x < 0$, значит $x^3 < 0$.
По условию $y > 0$, значит $y^7 > 0$.
Следовательно, произведение $x^3y^7$ отрицательно.
При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится модуль этого множителя:
$x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -(-x^3y^7)\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{(-x^3y^7)^{10} \cdot x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{x^{30}y^{70} \cdot x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{x^{30+8}y^{70+12}} = -\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

Ответ: $-\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

109. Упростите выражение:

1) $(\sqrt[5]{a}-1)(\sqrt[5]{a}+1)-(\sqrt[5]{a}-2)^2;$

2) $\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-3}-\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-9};$

3) $\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[8]{xy}+\sqrt[4]{y}}+\frac{2\sqrt[8]{x}}{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}};$

4) $\left(\frac{\sqrt[4]{a}+4}{\sqrt[4]{a}-4}-\frac{\sqrt[4]{a}-4}{\sqrt[4]{a}+4}\right) \cdot \frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}};$

5) $\frac{2\sqrt[8]{m}}{\sqrt[8]{m}-2}+\frac{\sqrt[8]{m}+7}{8-4\sqrt[8]{m}} \cdot \frac{32}{7\sqrt[8]{m}+\sqrt[4]{m}}.$

1) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для первого произведения и формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для второго члена.
$(\sqrt[5]{a} - 1)(\sqrt[5]{a} + 1) - (\sqrt[5]{a} - 2)^2 = ((\sqrt[5]{a})^2 - 1^2) - ((\sqrt[5]{a})^2 - 2 \cdot \sqrt[5]{a} \cdot 2 + 2^2) =$
$= (\sqrt[5]{a^2} - 1) - (\sqrt[5]{a^2} - 4\sqrt[5]{a} + 4)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt[5]{a^2} - 1 - \sqrt[5]{a^2} + 4\sqrt[5]{a} - 4 = (\sqrt[5]{a^2} - \sqrt[5]{a^2}) + 4\sqrt[5]{a} - 1 - 4 = 4\sqrt[5]{a} - 5$.
Ответ: $4\sqrt[5]{a} - 5$.

2) Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену $y = \sqrt[6]{x}$. Выражение примет вид:
$\frac{y}{y - 3} - \frac{y^2}{y^2 - 9}$.
Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)(y+3)$:
$\frac{y(y+3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{y^2}{(y-3)(y+3)} = \frac{y(y+3) - y^2}{(y-3)(y+3)}$.
Упростим числитель:
$\frac{y^2 + 3y - y^2}{y^2 - 9} = \frac{3y}{y^2 - 9}$.
Выполним обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$:
$\frac{3\sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x})^2 - 9} = \frac{3\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 9}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 9}$.

3) Выполним замену: $a = \sqrt[8]{x}$ и $b = \sqrt[8]{y}$. Тогда $\sqrt[4]{x} = a^2$, $\sqrt[4]{y} = b^2$, а $\sqrt[8]{xy} = ab$.
Исходное выражение примет вид:
$\frac{a^2 + b^2}{ab + b^2} + \frac{2a}{a + b}$.
В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $b$:
$\frac{a^2 + b^2}{b(a + b)} + \frac{2a}{a + b}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $b(a+b)$:
$\frac{a^2 + b^2}{b(a + b)} + \frac{2ab}{b(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{b(a+b)}$.
Числитель является полным квадратом суммы $(a+b)^2$:
$\frac{(a+b)^2}{b(a+b)}$.
Сократим дробь на $(a+b)$:
$\frac{a+b}{b}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{y}}{\sqrt[8]{y}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{y}}{\sqrt[8]{y}}$.

4) Сначала выполним действие в скобках. Пусть $x = \sqrt[4]{a}$.
$\frac{x + 4}{x - 4} - \frac{x - 4}{x + 4}$.
Приведем к общему знаменателю $(x-4)(x+4) = x^2 - 16$:
$\frac{(x+4)^2 - (x-4)^2}{x^2 - 16} = \frac{(x^2+8x+16) - (x^2-8x+16)}{x^2 - 16} = \frac{16x}{x^2 - 16}$.
Подставим обратно $x = \sqrt[4]{a}$:
$\frac{16\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[4]{a})^2 - 16} = \frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 16}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 16} \cdot \frac{16 - \sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$.
Так как $16 - \sqrt{a} = -(\sqrt{a} - 16)$, то:
$\frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 16} \cdot \frac{-(\sqrt{a} - 16)}{32\sqrt[4]{a^3}} = \frac{-16\sqrt[4]{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$.
Сократим полученную дробь:
$-\frac{16}{32} \cdot \frac{a^{1/4}}{a^{3/4}} = -\frac{1}{2} \cdot a^{1/4 - 3/4} = -\frac{1}{2} \cdot a^{-2/4} = -\frac{1}{2} \cdot a^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{a}}$.
Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{a}}$.

5) Сначала выполним умножение. Пусть $x = \sqrt[8]{m}$, тогда $\sqrt[4]{m} = x^2$.
$\frac{x + 7}{8 - 4x} \cdot \frac{32}{7x + x^2}$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{x + 7}{4(2 - x)} \cdot \frac{32}{x(7 + x)} = \frac{x + 7}{-4(x - 2)} \cdot \frac{32}{x(x + 7)}$.
Сократим общие множители $(x+7)$ и 4:
$\frac{1}{-(x - 2)} \cdot \frac{8}{x} = -\frac{8}{x(x-2)}$.
Теперь выполним сложение с первой дробью:
$\frac{2x}{x-2} - \frac{8}{x(x-2)}$.
Приведем к общему знаменателю $x(x-2)$:
$\frac{2x \cdot x}{x(x-2)} - \frac{8}{x(x-2)} = \frac{2x^2 - 8}{x(x-2)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 и разложим на множители разность квадратов:
$\frac{2(x^2 - 4)}{x(x-2)} = \frac{2(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$.
Сократим на $(x-2)$:
$\frac{2(x+2)}{x}$.
Сделаем обратную замену $x = \sqrt[8]{m}$:
$\frac{2(\sqrt[8]{m} + 2)}{\sqrt[8]{m}}$.
Ответ: $\frac{2(\sqrt[8]{m} + 2)}{\sqrt[8]{m}}$.