Страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[5]{-x+1})^5$;

2) $y = (\sqrt[6]{x-2})^6$.

1) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[5]{-x + 1})^5$.

По определению корня нечетной степени, выражение $\sqrt[n]{a}$ (где $n$ - нечетное число) определено для любого действительного числа $a$. Следовательно, область определения данной функции ($D(y)$) — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Применяя это тождество к нашей функции, где $n=5$ и $a = -x + 1$, получаем:

$y = -x + 1$.

Это уравнение задает линейную функцию, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 1)$.
• При $y = 0$, $0 = -x + 1$, откуда $x = 1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$.

2) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[6]{x - 2})^6$.

По определению корня четной степени, выражение $\sqrt[n]{a}$ (где $n$ - четное число) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $a \geq 0$.

В нашем случае подкоренное выражение равно $x - 2$. Следовательно, область определения функции ($D(y)$) задается неравенством:

$x - 2 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq 2$. Таким образом, $D(y) = [2; +\infty)$.

Для любого $a \geq 0$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Применяя это тождество к нашей функции на ее области определения, где $n=6$ и $a = x - 2$, получаем:

$y = x - 2$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x - 2$ при условии $x \geq 2$. Графиком такой функции является луч, выходящий из точки с абсциссой $x=2$.

Найдем координаты начальной точки луча:

При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Начальная точка луча — $(2; 0)$.

Для построения луча возьмем еще одну точку, удовлетворяющую условию $x > 2$. Например, при $x = 4$, $y = 4 - 2 = 2$. Вторая точка — $(4; 2)$.

График — это луч, начинающийся в точке $(2; 0)$ и проходящий через точку $(4; 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x - 2$ при $x \geq 2$.

83. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-1}$;

2) $y = \sqrt[3]{x}-1$;

3) $y = \sqrt[3]{1-x}$;

4) $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1.$

1) $y = \sqrt[3]{x} - 1$

Для построения данного графика необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ представляет собой кривую, проходящую через начало координат и симметричную относительно него. Ключевые точки для построения:

• при $x = -8, y = \sqrt[3]{-8} = -2$
• при $x = -1, y = \sqrt[3]{-1} = -1$
• при $x = 0, y = \sqrt[3]{0} = 0$
• при $x = 1, y = \sqrt[3]{1} = 1$
• при $x = 8, y = \sqrt[3]{8} = 2$

Чтобы получить график функции $y = \sqrt[3]{x} - 1$, нужно сместить график $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 1)$.

Новые ключевые точки:

• $(-8, -2-1) = (-8, -3)$
• $(-1, -1-1) = (-1, -2)$
• $(0, 0-1) = (0, -1)$
• $(1, 1-1) = (1, 0)$
• $(8, 2-1) = (8, 1)$

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x} - 1$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, смещенным на 1 единицу вниз по оси Oy.

2) $y = \sqrt[3]{x-1}$

Для построения этого графика также используется базовый график $y = \sqrt[3]{x}$ с ключевыми точками (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

Чтобы получить график функции $y = \sqrt[3]{x-1}$, нужно сместить график $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0 + 1, y_0)$.

Новые ключевые точки:

• $(-8+1, -2) = (-7, -2)$
• $(-1+1, -1) = (0, -1)$
• $(0+1, 0) = (1, 0)$
• $(1+1, 1) = (2, 1)$
• $(8+1, 2) = (9, 2)$

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x-1}$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, смещенным на 1 единицу вправо по оси Ox.

3) $y = \sqrt[3]{1-x}$

Этот график строится с помощью нескольких преобразований графика $y = \sqrt[3]{x}$. Запишем функцию в виде $y = \sqrt[3]{-(x-1)}$.

Последовательность преобразований:

1. Строим график $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Строим график $y = \sqrt[3]{-x}$. Для этого отражаем график $y = \sqrt[3]{x}$ симметрично относительно оси Oy. Ключевые точки станут: (8, -2), (1, -1), (0, 0), (-1, 1), (-8, 2).
3. Строим график $y = \sqrt[3]{-(x-1)}$. Для этого сдвигаем график $y = \sqrt[3]{-x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Ключевые точки итогового графика:

• $(8+1, -2) = (9, -2)$
• $(1+1, -1) = (2, -1)$
• $(0+1, 0) = (1, 0)$
• $(-1+1, 1) = (0, 1)$
• $(-8+1, 2) = (-7, 2)$

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{1-x}$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, который сначала симметрично отражен относительно оси Oy, а затем смещен на 1 единицу вправо по оси Ox.

4) $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1$

Построение этого графика требует нескольких шагов, начиная с $y = \sqrt[3]{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Строим график $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Строим график $y = \sqrt[3]{|x|}$. Для $x \ge 0$ график совпадает с $y = \sqrt[3]{x}$. Для $x < 0$ график является симметричным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy. График становится четной функцией. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (8, 2), (-8, 2).
3. Строим график $y = -\sqrt[3]{|x|}$. Для этого отражаем предыдущий график симметрично относительно оси Ox. Ключевые точки: (0, 0), (1, -1), (-1, -1), (8, -2), (-8, -2).
4. Строим итоговый график $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1$. Для этого сдвигаем предыдущий график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ключевые точки итогового графика:

• $(-8, -2+1) = (-8, -1)$
• $(-1, -1+1) = (-1, 0)$
• $(0, 0+1) = (0, 1)$
• $(1, -1+1) = (1, 0)$
• $(8, -2+1) = (8, -1)$

Ответ: График функции $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем следующих преобразований: часть графика для $x \ge 0$ отражается симметрично относительно оси Oy для получения графика $y = \sqrt[3]{|x|}$; затем полученный график отражается симметрично относительно оси Ox; и, наконец, сдвигается на 1 единицу вверх по оси Oy.

84. Решите неравенство:

1) $\sqrt[6]{x+3} > 2;$

2) $\sqrt[3]{2x-3} \le 5;$

3) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2;$

4) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}.$

1) $\sqrt[6]{x+3} > 2$

Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x+3 \ge 0$
$x \ge -3$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в 6-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[6]{x+3})^6 > 2^6$
$x+3 > 64$
$x > 61$
Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -3$), получаем окончательный результат.
Ответ: $x \in (61; +\infty)$.

2) $\sqrt[3]{2x-3} \le 5$

Поскольку корень нечетной степени, подкоренное выражение может быть любым действительным числом. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части неравенства в 3-ю степень. Знак неравенства при этом не меняется:
$(\sqrt[3]{2x-3})^3 \le 5^3$
$2x-3 \le 125$
$2x \le 128$
$x \le 64$
Ответ: $x \in (-\infty; 64]$.

3) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2$

Поскольку корень четной степени, найдем ОДЗ:
$3x+1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{3}$
Обе части неравенства неотрицательны. Возведем их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{3x+1})^4 \le 2^4$
$3x+1 \le 16$
$3x \le 15$
$x \le 5$
Теперь найдем пересечение полученного решения и ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x \le 5 \end{cases}$
Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; 5]$.

4) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}$

Так как корни четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} x^2-6 \ge 0 \\ 5x \ge 0 \end{cases}$
Из второго неравенства: $x \ge 0$.
Первое неравенство $x^2 \ge 6$ равносильно $x \in (-\infty; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [\sqrt{6}; +\infty)$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, а функция $y=\sqrt[10]{t}$ является возрастающей, можно возвести обе части в 10-ю степень, при этом знак неравенства сохранится:
$x^2-6 > 5x$
$x^2-5x-6 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Решением неравенства $x^2-5x-6 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [\sqrt{6}; +\infty)$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то пересечением будет интервал $(6; +\infty)$.
Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

85. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a-1)\sqrt[8]{x}=0;$

2) $\sqrt[6]{a(x-1)}=0;$

3) $(a+2)\sqrt[4]{x}=a+2;$

4) $\sqrt[6]{x}=a-1;$

5) $ax^8=6;$

6) $x^5=a+1;$

1)

Дано уравнение $(a-1)\sqrt[8]{x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется существованием корня четной степени: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Случай 1: $a-1=0$, то есть $a=1$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0=0$. Это равенство верно для любого значения $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, при $a=1$ решением является любое $x \ge 0$.

Случай 2: $a-1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$.

В этом случае, чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $\sqrt[8]{x} = 0$.

Возводя обе части уравнения в восьмую степень, получаем $x=0$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a=1$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a \ne 1$, то $x=0$.

2)

Дано уравнение $\sqrt[6]{a(x-1)} = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, то есть $a(x-1) \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корня: $a(x-1) = 0$.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $\sqrt[6]{0 \cdot (x-1)} = 0$, или $\sqrt[6]{0}=0$, что является верным равенством $0=0$. Проверим ОДЗ: $0 \cdot (x-1) \ge 0$, или $0 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$.

Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число $x$.

Случай 2: $a \ne 0$.

Из уравнения $a(x-1)=0$ следует, что $x-1=0$, откуда $x=1$. Проверим, удовлетворяет ли это решение ОДЗ: $a(1-1) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно при любом значении $a$.

Следовательно, при $a \ne 0$ уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \ne 0$, то $x=1$.

3)

Дано уравнение $(a+2)\sqrt[4]{x} = a+2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Случай 1: $a+2=0$, то есть $a=-2$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[4]{x} = 0$, или $0=0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a=-2$ решением является любое $x \ge 0$.

Случай 2: $a+2 \ne 0$, то есть $a \ne -2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a+2)$:

$\sqrt[4]{x} = 1$.

Возводя обе части в четвертую степень, получаем $x = 1^4$, то есть $x=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a=-2$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a \ne -2$, то $x=1$.

4)

Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = a-1$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

По определению, арифметический корень четной степени $\sqrt[6]{x}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$.

Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a-1 \ge 0$, что равносильно $a \ge 1$.

Случай 1: $a < 1$.

В этом случае $a-1 < 0$. Левая часть уравнения неотрицательна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Случай 2: $a \ge 1$.

При этом условии можно возвести обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x})^6 = (a-1)^6$,

$x = (a-1)^6$.

Это значение $x$ всегда неотрицательно (как четная степень), поэтому оно удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a < 1$, то корней нет; если $a \ge 1$, то $x=(a-1)^6$.

5)

Дано уравнение $ax^8 = 6$.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x^8 = 6$, или $0=6$. Это неверное равенство, значит, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \ne 0$.

Разделим обе части на $a$: $x^8 = \frac{6}{a}$.

Левая часть уравнения, $x^8$, всегда неотрицательна для любого действительного $x$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $\frac{6}{a} \ge 0$.

Так как числитель $6>0$, это неравенство выполняется только при $a>0$.

Если $a<0$, то $\frac{6}{a} < 0$, и уравнение $x^8 = (\text{отрицательное число})$ не имеет действительных корней.

Если $a>0$, то $\frac{6}{a} > 0$, и уравнение имеет два симметричных корня:

$x = \pm \sqrt[8]{\frac{6}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x_1 = \sqrt[8]{\frac{6}{a}}$, $x_2 = -\sqrt[8]{\frac{6}{a}}$.

6)

Дано уравнение $x^5 = a+1$.

Это уравнение вида $x^n=b$, где $n=5$ — нечетное натуральное число. Такое уравнение для любого действительного значения $b$ имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[n]{b}$.

В данном случае $b=a+1$. Это выражение может принимать любые действительные значения в зависимости от параметра $a$.

Следовательно, для любого значения $a$ уравнение имеет единственный корень, который находится извлечением корня пятой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[5]{a+1}$.

Ответ: при любом значении $a$, $x = \sqrt[5]{a+1}$.

86. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{27 \cdot 64}$;

2) $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 625}$;

3) $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032}$;

4) $\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9}$;

5) $\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}}$;

6) $\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 2^{12}}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{27 \cdot 64}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{27 \cdot 64} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{64}$
Теперь вычислим каждый корень по отдельности:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
Перемножим полученные значения:
$3 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 625}$ применим свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{0,0081 \cdot 625} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{625}$
Вычислим каждый корень:
$\sqrt[4]{0,0081} = 0,3$, так как $0,3^4 = 0,0081$.
$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
Перемножим результаты:
$0,3 \cdot 5 = 1,5$.
Ответ: 1,5.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032}$ используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{0,00032}$
Найдем значения корней:
$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
$\sqrt[5]{0,00032} = 0,2$, так как $0,2^5 = 0,00032$.
Перемножим полученные значения:
$3 \cdot 0,2 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9}$ применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9} = \sqrt[3]{4^6} \cdot \sqrt[3]{3^9}$
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2 = 16$.
$\sqrt[3]{3^9} = 3^{\frac{9}{3}} = 3^3 = 27$.
Найдем произведение:
$16 \cdot 27 = 432$.
Ответ: 432.

5) Для вычисления значения выражения $\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}}$ воспользуемся свойствами корня из произведения и корня из степени.
$\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}} = \sqrt[7]{0,3^7} \cdot \sqrt[7]{5^{14}}$
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[7]{0,3^7} = 0,3^{\frac{7}{7}} = 0,3^1 = 0,3$.
$\sqrt[7]{5^{14}} = 5^{\frac{14}{7}} = 5^2 = 25$.
Перемножим полученные результаты:
$0,3 \cdot 25 = 7,5$.
Ответ: 7,5.

6) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 2^{12}}}$ применим свойства корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, корня из произведения и корня из степени.
$\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 2^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{3^8 \cdot 7^4}}{\sqrt[4]{5^4 \cdot 2^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{3^8} \cdot \sqrt[4]{7^4}}{\sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{2^{12}}}$
Теперь вычислим значение каждого корня:
$\sqrt[4]{3^8} = 3^{\frac{8}{4}} = 3^2 = 9$.
$\sqrt[4]{7^4} = 7^{\frac{4}{4}} = 7^1 = 7$.
$\sqrt[4]{5^4} = 5^{\frac{4}{4}} = 5^1 = 5$.
$\sqrt[4]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{4}} = 2^3 = 8$.
Подставим значения обратно в дробь:
$\frac{9 \cdot 7}{5 \cdot 8} = \frac{63}{40} = 1,575$.
Ответ: $\frac{63}{40}$.

87. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$;

2) $\sqrt[6]{10000} \cdot \sqrt[6]{100}$;

3) $\sqrt[3]{0,108} \cdot \sqrt[3]{2}$;

4) $\sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6}$;

5) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}}$;

6) $\frac{\sqrt[3]{5^8 \cdot 7^{10}}}{\sqrt[3]{5^2 \cdot 7^{16}}}$.

1) Воспользуемся свойством корней: произведение корней одной степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32} $
Так как $ 2^5 = 32 $, то $ \sqrt[5]{32} = 2 $.
Ответ: 2

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[6]{10000} \cdot \sqrt[6]{100} = \sqrt[6]{10000 \cdot 100} = \sqrt[6]{1000000} $
Представим $ 1000000 $ как степень числа $ 10 $: $ 1000000 = 10^6 $.
$ \sqrt[6]{10^6} = 10 $
Ответ: 10

3) Применяем свойство произведения корней: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[3]{0,108} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{0,108 \cdot 2} = \sqrt[3]{0,216} $
Поскольку $ 0.6^3 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 = 0.216 $, то $ \sqrt[3]{0,216} = 0,6 $.
Ответ: 0,6

4) Используем свойство произведения корней: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6} = \sqrt[8]{(3^5 \cdot 5^2) \cdot (3^3 \cdot 5^6)} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ \sqrt[8]{(3^5 \cdot 3^3) \cdot (5^2 \cdot 5^6)} = \sqrt[8]{3^{5+3} \cdot 5^{2+6}} = \sqrt[8]{3^8 \cdot 5^8} $
Далее применим свойство $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $:
$ \sqrt[8]{(3 \cdot 5)^8} = \sqrt[8]{15^8} = 15 $
Ответ: 15

5) Воспользуемся свойством частного корней: частное корней одной степени равно корню той же степени из частного подкоренных выражений $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.
$ \frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}} = \sqrt[5]{\frac{96}{729}} $
Разложим числа 96 и 729 на простые множители, чтобы сократить дробь:
$ 96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3 $
$ 729 = 3^6 $
$ \sqrt[5]{\frac{2^5 \cdot 3}{3^6}} = \sqrt[5]{\frac{2^5}{3^5}} $
Используем свойство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $:
$ \sqrt[5]{(\frac{2}{3})^5} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $

6) Применяем свойство частного корней: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.
$ \frac{\sqrt[3]{5^8 \cdot 7^{10}}}{\sqrt[3]{5^2 \cdot 7^{16}}} = \sqrt[3]{\frac{5^8 \cdot 7^{10}}{5^2 \cdot 7^{16}}} $
Упростим выражение под корнем, используя свойство частного степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \sqrt[3]{\frac{5^8}{5^2} \cdot \frac{7^{10}}{7^{16}}} = \sqrt[3]{5^{8-2} \cdot 7^{10-16}} = \sqrt[3]{5^6 \cdot 7^{-6}} = \sqrt[3]{\frac{5^6}{7^6}} $
Используем свойство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $:
$ \sqrt[3]{(\frac{5}{7})^6} $
Теперь воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ (\frac{5}{7})^{\frac{6}{3}} = (\frac{5}{7})^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49} $
Ответ: $ \frac{25}{49} $

88. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{37} + 8} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{37} - 8}$;

2) $\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}$.

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{\sqrt{37}+8} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{37}-8} = \sqrt[3]{(\sqrt{37}+8)(\sqrt{37}-8)}$

Выражение под знаком корня представляет собой формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Вычислим значение подкоренного выражения:

$(\sqrt{37}+8)(\sqrt{37}-8) = (\sqrt{37})^2 - 8^2 = 37 - 64 = -27$

Теперь извлечем кубический корень из полученного числа:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: -3

2) Аналогично первому примеру, используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Перемножим подкоренные выражения под общим знаком корня четвертой степени:

$\sqrt[4]{17-\sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17+\sqrt{33}} = \sqrt[4]{(17-\sqrt{33})(17+\sqrt{33})}$

Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для выражения в скобках:

$(17-\sqrt{33})(17+\sqrt{33}) = 17^2 - (\sqrt{33})^2 = 289 - 33 = 256$

Теперь вычислим корень четвертой степени из 256:

$\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.

Ответ: 4

89. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}}$;

3) $\sqrt[24]{a^{32}}$;

4) $\sqrt[10]{m^5 n^{15}}$;

5) $\frac{\sqrt[6]{a^7 b^{11}}}{\sqrt[6]{a^4 b^2}}$.

1) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$

Для упрощения выражения, в котором один корень находится под знаком другого, используется свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x}$. Квадратный корень является корнем с показателем 2, поэтому $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$.

Применим свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a} = \sqrt[6]{a}$.

Также можно решить задачу, используя степени с рациональным показателем. Свойство: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a^{\frac{1}{2}}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{a}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a}$.

2) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}}$

Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x}$.

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[5 \cdot 4]{m} = \sqrt[20]{m}$.

Через степени с рациональным показателем:

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[5]{m^{\frac{1}{4}}} = (m^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{20}} = \sqrt[20]{m}$.

Ответ: $\sqrt[20]{m}$.

3) $\sqrt[24]{a^{32}}$

Для упрощения корня можно разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Свойство: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Находим наибольший общий делитель (НОД) для показателей 24 и 32. НОД(24, 32) = 8.

Делим оба показателя на 8:

$\sqrt[24]{a^{32}} = \sqrt[24:8]{a^{32:8}} = \sqrt[3]{a^4}$.

Далее можно вынести множитель из-под знака корня, представив $a^4$ как $a^3 \cdot a$:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = a\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

4) $\sqrt[10]{m^5 n^{15}}$

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$, а затем свойством упрощения корня.

$\sqrt[10]{m^5 n^{15}} = \sqrt[10]{m^5} \cdot \sqrt[10]{n^{15}}$.

Упростим каждый множитель. Для $\sqrt[10]{m^5}$ НОД(10, 5) = 5:

$\sqrt[10]{m^5} = \sqrt[10:5]{m^{5:5}} = \sqrt[2]{m^1} = \sqrt{m}$.

Для $\sqrt[10]{n^{15}}$ НОД(10, 15) = 5:

$\sqrt[10]{n^{15}} = \sqrt[10:5]{n^{15:5}} = \sqrt[2]{n^3} = \sqrt{n^3}$.

Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{n^3}$:

$\sqrt{n^3} = \sqrt{n^2 \cdot n} = n\sqrt{n}$.

Объединим полученные результаты:

$\sqrt{m} \cdot n\sqrt{n} = n\sqrt{mn}$.

Ответ: $n\sqrt{mn}$.

5) $\frac{\sqrt[6]{a^7b^{11}}}{\sqrt[6]{a^4b^2}}$

Используем свойство частного корней с одинаковыми показателями: $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$.

$\frac{\sqrt[6]{a^7b^{11}}}{\sqrt[6]{a^4b^2}} = \sqrt[6]{\frac{a^7b^{11}}{a^4b^2}}$.

Упростим дробь под корнем, используя свойство частного степеней $\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$:

$\frac{a^7b^{11}}{a^4b^2} = a^{7-4}b^{11-2} = a^3b^9$.

Получаем выражение: $\sqrt[6]{a^3b^9}$.

Теперь упростим этот корень, как в предыдущем примере:

$\sqrt[6]{a^3b^9} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b^9}$.

Для $\sqrt[6]{a^3}$ НОД(6, 3) = 3: $\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6:3]{a^{3:3}} = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$.

Для $\sqrt[6]{b^9}$ НОД(6, 9) = 3: $\sqrt[6]{b^9} = \sqrt[6:3]{b^{9:3}} = \sqrt[2]{b^3} = \sqrt{b^3}$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$.

Перемножим упрощенные части:

$\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} = b\sqrt{ab}$.

Ответ: $b\sqrt{ab}$.