Номер 85, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a-1)\sqrt[8]{x}=0;$

2) $\sqrt[6]{a(x-1)}=0;$

3) $(a+2)\sqrt[4]{x}=a+2;$

4) $\sqrt[6]{x}=a-1;$

5) $ax^8=6;$

6) $x^5=a+1;$

1)

Дано уравнение $(a-1)\sqrt[8]{x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется существованием корня четной степени: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Случай 1: $a-1=0$, то есть $a=1$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0=0$. Это равенство верно для любого значения $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, при $a=1$ решением является любое $x \ge 0$.

Случай 2: $a-1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$.

В этом случае, чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $\sqrt[8]{x} = 0$.

Возводя обе части уравнения в восьмую степень, получаем $x=0$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a=1$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a \ne 1$, то $x=0$.

2)

Дано уравнение $\sqrt[6]{a(x-1)} = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, то есть $a(x-1) \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корня: $a(x-1) = 0$.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $\sqrt[6]{0 \cdot (x-1)} = 0$, или $\sqrt[6]{0}=0$, что является верным равенством $0=0$. Проверим ОДЗ: $0 \cdot (x-1) \ge 0$, или $0 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$.

Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число $x$.

Случай 2: $a \ne 0$.

Из уравнения $a(x-1)=0$ следует, что $x-1=0$, откуда $x=1$. Проверим, удовлетворяет ли это решение ОДЗ: $a(1-1) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно при любом значении $a$.

Следовательно, при $a \ne 0$ уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \ne 0$, то $x=1$.

3)

Дано уравнение $(a+2)\sqrt[4]{x} = a+2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Случай 1: $a+2=0$, то есть $a=-2$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[4]{x} = 0$, или $0=0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a=-2$ решением является любое $x \ge 0$.

Случай 2: $a+2 \ne 0$, то есть $a \ne -2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a+2)$:

$\sqrt[4]{x} = 1$.

Возводя обе части в четвертую степень, получаем $x = 1^4$, то есть $x=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a=-2$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a \ne -2$, то $x=1$.

4)

Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = a-1$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

По определению, арифметический корень четной степени $\sqrt[6]{x}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$.

Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a-1 \ge 0$, что равносильно $a \ge 1$.

Случай 1: $a < 1$.

В этом случае $a-1 < 0$. Левая часть уравнения неотрицательна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Случай 2: $a \ge 1$.

При этом условии можно возвести обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x})^6 = (a-1)^6$,

$x = (a-1)^6$.

Это значение $x$ всегда неотрицательно (как четная степень), поэтому оно удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a < 1$, то корней нет; если $a \ge 1$, то $x=(a-1)^6$.

5)

Дано уравнение $ax^8 = 6$.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x^8 = 6$, или $0=6$. Это неверное равенство, значит, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \ne 0$.

Разделим обе части на $a$: $x^8 = \frac{6}{a}$.

Левая часть уравнения, $x^8$, всегда неотрицательна для любого действительного $x$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $\frac{6}{a} \ge 0$.

Так как числитель $6>0$, это неравенство выполняется только при $a>0$.

Если $a<0$, то $\frac{6}{a} < 0$, и уравнение $x^8 = (\text{отрицательное число})$ не имеет действительных корней.

Если $a>0$, то $\frac{6}{a} > 0$, и уравнение имеет два симметричных корня:

$x = \pm \sqrt[8]{\frac{6}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x_1 = \sqrt[8]{\frac{6}{a}}$, $x_2 = -\sqrt[8]{\frac{6}{a}}$.

6)

Дано уравнение $x^5 = a+1$.

Это уравнение вида $x^n=b$, где $n=5$ — нечетное натуральное число. Такое уравнение для любого действительного значения $b$ имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[n]{b}$.

В данном случае $b=a+1$. Это выражение может принимать любые действительные значения в зависимости от параметра $a$.

Следовательно, для любого значения $a$ уравнение имеет единственный корень, который находится извлечением корня пятой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[5]{a+1}$.

Ответ: при любом значении $a$, $x = \sqrt[5]{a+1}$.