Номер 82, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[5]{-x+1})^5$;

2) $y = (\sqrt[6]{x-2})^6$.

1) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[5]{-x + 1})^5$.

По определению корня нечетной степени, выражение $\sqrt[n]{a}$ (где $n$ - нечетное число) определено для любого действительного числа $a$. Следовательно, область определения данной функции ($D(y)$) — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Применяя это тождество к нашей функции, где $n=5$ и $a = -x + 1$, получаем:

$y = -x + 1$.

Это уравнение задает линейную функцию, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 1)$.
• При $y = 0$, $0 = -x + 1$, откуда $x = 1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$.

2) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[6]{x - 2})^6$.

По определению корня четной степени, выражение $\sqrt[n]{a}$ (где $n$ - четное число) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $a \geq 0$.

В нашем случае подкоренное выражение равно $x - 2$. Следовательно, область определения функции ($D(y)$) задается неравенством:

$x - 2 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq 2$. Таким образом, $D(y) = [2; +\infty)$.

Для любого $a \geq 0$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Применяя это тождество к нашей функции на ее области определения, где $n=6$ и $a = x - 2$, получаем:

$y = x - 2$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x - 2$ при условии $x \geq 2$. Графиком такой функции является луч, выходящий из точки с абсциссой $x=2$.

Найдем координаты начальной точки луча:

При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Начальная точка луча — $(2; 0)$.

Для построения луча возьмем еще одну точку, удовлетворяющую условию $x > 2$. Например, при $x = 4$, $y = 4 - 2 = 2$. Вторая точка — $(4; 2)$.

График — это луч, начинающийся в точке $(2; 0)$ и проходящий через точку $(4; 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x - 2$ при $x \geq 2$.