Номер 81, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 25)\sqrt[18]{4 - x} = 0;$

2) $(x - 8)\sqrt[20]{x^2 - 12x + 27} = 0;$

3) $(|x| - 8)\sqrt[22]{5 - x} = 0.$

1) $(x^2 - 25)\sqrt[18]{4 - x} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени (18), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$4 - x \ge 0$
$x \le 4$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 4]$.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

а) $x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

б) $\sqrt[18]{4 - x} = 0$
$4 - x = 0$
$x_3 = 4$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
$x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \le 4$, следовательно, не является корнем уравнения.
$x_2 = -5$ удовлетворяет условию $x \le 4$.
$x_3 = 4$ удовлетворяет условию $x \le 4$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -5$ и $x = 4$.
Ответ: $\{-5; 4\}$

2) $(x - 8)^{20}\sqrt{x^2 - 12x + 27} = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 12x + 27 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 27 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$, $x_1 \cdot x_2 = 27$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.
Парабола $y = x^2 - 12x + 27$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \le 3$ и $x \ge 9$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 3] \cup [9; \infty)$.

Рассмотрим случаи, когда произведение равно нулю:

а) $(x - 8)^{20} = 0$
$x - 8 = 0$
$x_1 = 8$

б) $\sqrt{x^2 - 12x + 27} = 0$
$x^2 - 12x + 27 = 0$
$x_2 = 3$, $x_3 = 9$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
$x_1 = 8$ не принадлежит ОДЗ, так как $8 \notin (-\infty; 3] \cup [9; \infty)$.
$x_2 = 3$ принадлежит ОДЗ.
$x_3 = 9$ принадлежит ОДЗ.

Решениями уравнения являются $x = 3$ и $x = 9$.
Ответ: $\{3; 9\}$

3) $(|x| - 8)^{22}\sqrt{5 - x} = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x \ge 0$
$x \le 5$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 5]$.

Рассмотрим случаи, когда произведение равно нулю:

а) $(|x| - 8)^{22} = 0$
$|x| - 8 = 0$
$|x| = 8$
$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

б) $\sqrt{5 - x} = 0$
$5 - x = 0$
$x_3 = 5$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
$x_1 = 8$ не удовлетворяет условию $x \le 5$.
$x_2 = -8$ удовлетворяет условию $x \le 5$.
$x_3 = 5$ удовлетворяет условию $x \le 5$.

Решениями уравнения являются $x = -8$ и $x = 5$.
Ответ: $\{-8; 5\}$