Страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[8]{x} + 4$;

2) $y = -\sqrt[4]{x} - 3$;

3) $y = \sqrt[7]{x} + 5$.

1) Найдем область значений функции $y = \sqrt[8]{x} + 4$.

Показатель корня $n=8$ является четным числом. Это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть область определения функции: $x \ge 0$.

Арифметический корень четной степени по определению является неотрицательным числом. Следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство:

$\sqrt[8]{x} \ge 0$

Чтобы получить выражение для $y$, прибавим к обеим частям этого неравенства число 4:

$\sqrt[8]{x} + 4 \ge 0 + 4$

$y \ge 4$

Таким образом, область значений функции — это все действительные числа, большие или равные 4.

Ответ: $E(y) = [4, +\infty)$

2) Найдем область значений функции $y = -\sqrt[4]{x} - 3$.

Показатель корня $n=4$ — четное число, поэтому область определения функции: $x \ge 0$.

Для всех $x$ из области определения, значение корня неотрицательно:

$\sqrt[4]{x} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt[4]{x} \le 0$

Теперь вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$-\sqrt[4]{x} - 3 \le 0 - 3$

$y \le -3$

Следовательно, область значений функции — это все действительные числа, меньшие или равные -3.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -3]$

3) Найдем область значений функции $y = \sqrt[7]{x} + 5$.

Показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Область значений функции $g(x) = \sqrt[7]{x}$ также является множеством всех действительных чисел. То есть, $\sqrt[7]{x}$ может принимать любое значение от $-\infty$ до $+\infty$.

Функция $y$ представляет собой сумму функции $\sqrt[7]{x}$ и константы 5. Когда к выражению, которое может принимать любое действительное значение, прибавляется константа, итоговое выражение также может принимать любое действительное значение. График функции $y = \sqrt[7]{x} + 5$ получается из графика $g(x) = \sqrt[7]{x}$ сдвигом на 5 единиц вверх, что не влияет на область значений, если она уже была $(-\infty, +\infty)$.

Таким образом, область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$

73. Оцените значение выражения $\sqrt[3]{x}$, если:

1) $8 \le x \le 343$;

2) $-27 < x < 64$.

1)

Дано двойное неравенство $8 \le x \le 343$. Чтобы оценить значение выражения $\sqrt[3]{x}$, необходимо извлечь кубический корень из каждой части неравенства. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$, и при применении этой функции к неравенству его знак сохраняется.

Применим операцию извлечения кубического корня ко всем частям неравенства:

$\sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{x} \le \sqrt[3]{343}$

Теперь вычислим значения корней в левой и правой частях:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

$\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$.

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$2 \le \sqrt[3]{x} \le 7$.

Таким образом, значение выражения $\sqrt[3]{x}$ находится в промежутке от 2 до 7 включительно.

Ответ: $2 \le \sqrt[3]{x} \le 7$.

2)

Дано двойное неравенство $-27 < x < 64$. Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством монотонного возрастания функции $y = \sqrt[3]{x}$. Для строгих неравенств это свойство также сохраняется.

Применим операцию извлечения кубического корня ко всем частям неравенства:

$\sqrt[3]{-27} < \sqrt[3]{x} < \sqrt[3]{64}$

Вычислим значения корней в левой и правой частях:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$-3 < \sqrt[3]{x} < 4$.

Таким образом, значение выражения $\sqrt[3]{x}$ находится в промежутке от -3 до 4, не включая концы.

Ответ: $-3 < \sqrt[3]{x} < 4$.

74. Оцените значение x, если:

1) $-1 \le \sqrt[5]{x} \le 2;$

2) $3 < \sqrt[4]{x} < 5.$

1) Чтобы найти диапазон значений для $x$ из неравенства $-1 \le \sqrt[5]{x} \le 2$, необходимо возвести все части этого двойного неравенства в пятую степень. Функция $y=u^5$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому при возведении в нечетную степень знаки неравенства сохраняются.

Выполним возведение в степень:

$(-1)^5 \le (\sqrt[5]{x})^5 \le 2^5$

Вычислим полученные значения:

$(-1)^5 = -1$

$(\sqrt[5]{x})^5 = x$

$2^5 = 32$

В результате получаем оценку для $x$:

$-1 \le x \le 32$

Ответ: $-1 \le x \le 32$.

2) Для нахождения диапазона значений $x$ в неравенстве $3 < \sqrt[4]{x} < 5$ необходимо возвести все части в четвертую степень. Корень четной степени ($\sqrt[4]{x}$) определен только для $x \ge 0$. Все части данного неравенства ($3$, $\sqrt[4]{x}$ и $5$) являются положительными. Функция $y=u^4$ монотонно возрастает для неотрицательных значений, поэтому мы можем возвести все части в степень, сохранив знаки неравенства.

Выполним возведение в степень:

$3^4 < (\sqrt[4]{x})^4 < 5^4$

Вычислим полученные значения:

$3^4 = 81$

$(\sqrt[4]{x})^4 = x$

$5^4 = 625$

В результате получаем оценку для $x$:

$81 < x < 625$

Ответ: $81 < x < 625$.

75. Сравните:

1) $ \sqrt[4]{5,8} $ и $ \sqrt[4]{4,9} $;

2) $ \sqrt[5]{-42} $ и $ \sqrt[5]{-45} $;

3) $ \sqrt[5]{34} $ и 2;

4) $ \sqrt{6} $ и $ \sqrt[6]{210} $;

5) $ 4\sqrt[3]{2} $ и $ 3\sqrt[3]{5} $.

1) Сравним числа $\sqrt[4]{5,8}$ и $\sqrt[4]{4,9}$.
Функция $y = \sqrt[n]{x}$ для четного $n$ (в данном случае $n=4$) является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для двух положительных чисел, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.
Сравним подкоренные выражения: $5,8 > 4,9$.
Следовательно, $\sqrt[4]{5,8} > \sqrt[4]{4,9}$.
Ответ: $\sqrt[4]{5,8} > \sqrt[4]{4,9}$.

2) Сравним числа $\sqrt[5]{-42}$ и $\sqrt[5]{-45}$.
Функция $y = \sqrt[n]{x}$ для нечетного $n$ (в данном случае $n=5$) является возрастающей для всех действительных чисел. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Сравним подкоренные выражения: $-42 > -45$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-42} > \sqrt[5]{-45}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-42} > \sqrt[5]{-45}$.

3) Сравним числа $\sqrt[5]{34}$ и $2$.
Для сравнения представим число $2$ в виде корня пятой степени. Для этого возведем $2$ в пятую степень и поместим результат под знак корня пятой степени.
$2 = \sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32}$.
Теперь сравним $\sqrt[5]{34}$ и $\sqrt[5]{32}$. Поскольку подкоренное выражение $34$ больше, чем $32$, то и значение корня будет больше.
$34 > 32 \Rightarrow \sqrt[5]{34} > \sqrt[5]{32}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{34} > 2$.
Ответ: $\sqrt[5]{34} > 2$.

4) Сравним числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt[6]{210}$.
Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 6 равно 6.
Представим $\sqrt{6}$ (корень 2-й степени) в виде корня 6-й степени. Для этого нужно и показатель корня, и степень подкоренного выражения умножить на 3:
$\sqrt{6} = \sqrt[2]{6^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{6^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{6^3} = \sqrt[6]{216}$.
Теперь сравним $\sqrt[6]{216}$ и $\sqrt[6]{210}$.
Поскольку $216 > 210$, то $\sqrt[6]{216} > \sqrt[6]{210}$.
Следовательно, $\sqrt{6} > \sqrt[6]{210}$.
Ответ: $\sqrt{6} > \sqrt[6]{210}$.

5) Сравним числа $4\sqrt[3]{2}$ и $3\sqrt[3]{5}$.
Для сравнения внесем множители перед корнем под знак корня. Для этого множитель возводится в степень, равную показателю корня.
$4\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = \sqrt[3]{128}$.
$3\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{135}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{128}$ и $\sqrt[3]{135}$.
Поскольку подкоренное выражение $128$ меньше, чем $135$, то и значение корня будет меньше.
$128 < 135 \Rightarrow \sqrt[3]{128} < \sqrt[3]{135}$.
Следовательно, $4\sqrt[3]{2} < 3\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $4\sqrt[3]{2} < 3\sqrt[3]{5}$.

76. Решите уравнение:

1) $x^9 = -16;$

2) $x^4 = \frac{1}{16};$

3) $x^4 = -81;$

4) $(x - 2)^6 = 64;$

5) $8x^4 - 64 = 0;$

6) $(x^2 - 4x)^3 = -27.$

1) Дано уравнение $x^9 = -16$.
Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень нечетной (девятой) степени из обеих частей уравнения. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
$x = \sqrt[9]{-16}$
$x = -\sqrt[9]{16}$
Ответ: $-\sqrt[9]{16}$.

2) Дано уравнение $x^4 = \frac{1}{16}$.
Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четной (четвертой) степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень четная, а правая часть положительна, уравнение будет иметь два действительных корня.
$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$
Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}} = \pm \frac{1}{2}$
Ответ: $\pm \frac{1}{2}$.

3) Дано уравнение $x^4 = -81$.
Левая часть уравнения, $x^4$, представляет собой число в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$. Правая часть уравнения - отрицательное число (-81).
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

4) Дано уравнение $(x-2)^6 = 64$.
Извлечем корень четной (шестой) степени из обеих частей. Это даст два возможных значения для выражения в скобках.
$x-2 = \pm \sqrt[6]{64}$
Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
$x-2 = \pm 2$
Рассмотрим два случая:
1. $x-2 = 2 \implies x = 2+2 \implies x=4$
2. $x-2 = -2 \implies x = -2+2 \implies x=0$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; 4.

5) Дано уравнение $8x^4 - 64 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $x^4$.
$8x^4 = 64$
$x^4 = \frac{64}{8}$
$x^4 = 8$
Теперь извлечем корень четной (четвертой) степени. Уравнение будет иметь два действительных корня.
$x = \pm \sqrt[4]{8}$
Ответ: $\pm \sqrt[4]{8}$.

6) Дано уравнение $(x^2 - 4x)^3 = -27$.
Извлечем корень нечетной (третьей) степени из обеих частей. Для нечетной степени существует только один действительный корень.
$x^2 - 4x = \sqrt[3]{-27}$
Так как $(-3)^3 = -27$, то $\sqrt[3]{-27} = -3$.
$x^2 - 4x = -3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 3. Или можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 1; 3.

77. Решите уравнение:

1) $\sqrt[7]{x} = 2;$

2) $\sqrt[4]{x} - 6 = 0;$

3) $\sqrt[4]{x} + 5 = 0;$

4) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{x} - 3 = 0;$

5) $\sqrt[4]{6x - 4} = 0;$

6) $\sqrt[4]{6x - 4} = 2.$

1) $\sqrt[7]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в седьмую степень, так как корень седьмой степени и возведение в седьмую степень — это взаимообратные операции.

$(\sqrt[7]{x})^7 = 2^7$

$x = 128$

Ответ: $128$

2) $\sqrt[4]{x} - 6 = 0$

Сначала изолируем корень, перенеся 6 в правую часть уравнения:

$\sqrt[4]{x} = 6$

Теперь возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корня.

$(\sqrt[4]{x})^4 = 6^4$

$x = 1296$

Ответ: $1296$

3) $\sqrt[4]{x} + 5 = 0$

Изолируем корень, перенеся 5 в правую часть уравнения:

$\sqrt[4]{x} = -5$

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае четвертой) не может быть отрицательным числом. Следовательно, это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет решений

4) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{x} - 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:

$\frac{1}{2}\sqrt[3]{x} = 3$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$\sqrt[3]{x} = 6$

Возведем обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = 6^3$

$x = 216$

Ответ: $216$

5) $\sqrt[4]{6x - 4} = 0$

Корень любой степени равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.

$6x - 4 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$6x = 4$

$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) $\sqrt[4]{6x - 4} = 2$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt[4]{6x - 4})^4 = 2^4$

$6x - 4 = 16$

Решим полученное линейное уравнение:

$6x = 16 + 4$

$6x = 20$

$x = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Ответ: $\frac{10}{3}$

78. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{12}$

2) $\sqrt[4]{50}$

3) $-\sqrt[5]{30}$

1) $\sqrt[3]{12}$

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{12}$, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{12} < n+1$.

Возведем все части этого неравенства в третью степень. Так как функция $y=x^3$ является монотонно возрастающей, знаки неравенства сохранятся: $n^3 < 12 < (n+1)^3$.

Теперь подберем такие целые числа, кубы которых будут "окружать" число 12.

Рассмотрим кубы первых нескольких натуральных чисел:

$1^3 = 1$

$2^3 = 8$

$3^3 = 27$

Из этого видно, что $8 < 12 < 27$, следовательно, $2^3 < 12 < 3^3$.

Извлекая кубический корень из всех частей этого неравенства, мы возвращаемся к исходному: $\sqrt[3]{2^3} < \sqrt[3]{12} < \sqrt[3]{3^3}$, что равносильно $2 < \sqrt[3]{12} < 3$.

Таким образом, число $\sqrt[3]{12}$ находится на координатной прямой между числами 2 и 3.

Ответ: между 2 и 3.

2) $\sqrt[4]{50}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt[4]{50} < n+1$.

Возводим неравенство в четвертую степень: $n^4 < 50 < (n+1)^4$.

Рассмотрим четвертые степени целых чисел:

$1^4 = 1$

$2^4 = 16$

$3^4 = 81$

Мы видим, что $16 < 50 < 81$, что означает $2^4 < 50 < 3^4$.

Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[4]{2^4} < \sqrt[4]{50} < \sqrt[4]{3^4}$, что равносильно $2 < \sqrt[4]{50} < 3$.

Следовательно, число $\sqrt[4]{50}$ находится между целыми числами 2 и 3.

Ответ: между 2 и 3.

3) $-\sqrt[5]{30}$

Для отрицательного числа сначала найдем, между какими целыми числами находится его модуль, то есть $\sqrt[5]{30}$. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt[5]{30} < n+1$.

Возводим неравенство в пятую степень: $n^5 < 30 < (n+1)^5$.

Рассмотрим пятые степени целых чисел:

$1^5 = 1$

$2^5 = 32$

Получаем, что $1 < 30 < 32$, а значит $1^5 < 30 < 2^5$.

Извлекая корень пятой степени, получаем: $\sqrt[5]{1^5} < \sqrt[5]{30} < \sqrt[5]{2^5}$, что равносильно $1 < \sqrt[5]{30} < 2$.

Теперь, когда мы знаем интервал для положительного числа, найдем интервал для отрицательного. Умножим все части неравенства $1 < \sqrt[5]{30} < 2$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 > -\sqrt[5]{30} > -2$.

Запишем это неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-2 < -\sqrt[5]{30} < -1$.

Таким образом, число $-\sqrt[5]{30}$ находится между целыми числами -2 и -1.

Ответ: между -2 и -1.

79. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) $3$ и $\sqrt[3]{250}$;

2) $\sqrt[5]{-30}$ и $\sqrt[6]{750}$.

1) Чтобы найти все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами 3 и $\sqrt[3]{250}$, нужно определить, какие целые числа $x$ удовлетворяют неравенству $3 < x < \sqrt[3]{250}$. Для этого сначала оценим значение $\sqrt[3]{250}$. Найдем кубы целых чисел, близких к 250: $6^3 = 216$ $7^3 = 343$ Поскольку $216 < 250 < 343$, можно сделать вывод, что $\sqrt[3]{216} < \sqrt[3]{250} < \sqrt[3]{343}$, и, следовательно, $6 < \sqrt[3]{250} < 7$. Теперь мы можем уточнить наше неравенство: мы ищем целые числа $x$, для которых $3 < x < \text{число между 6 и 7}$. Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: 4, 5, 6.
Ответ: 4, 5, 6.

2) Чтобы найти все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами $\sqrt[5]{-30}$ и $\sqrt[6]{750}$, нужно определить, какие целые числа $x$ удовлетворяют неравенству $\sqrt[5]{-30} < x < \sqrt[6]{750}$. Для этого оценим каждое из этих чисел.
Сначала оценим $\sqrt[5]{-30}$. Так как корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, найдем пятые степени ближайших отрицательных целых чисел: $(-2)^5 = -32$ $(-1)^5 = -1$ Поскольку $-32 < -30 < -1$, то и $\sqrt[5]{-32} < \sqrt[5]{-30} < \sqrt[5]{-1}$, что означает $-2 < \sqrt[5]{-30} < -1$.
Теперь оценим $\sqrt[6]{750}$. Найдем шестые степени ближайших положительных целых чисел: $3^6 = 729$ $4^6 = 4096$ Поскольку $729 < 750 < 4096$, то и $\sqrt[6]{729} < \sqrt[6]{750} < \sqrt[6]{4096}$, что означает $3 < \sqrt[6]{750} < 4$.
Таким образом, мы ищем целые числа $x$, которые находятся в интервале между числом от -2 до -1 и числом от 3 до 4. Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: -1, 0, 1, 2, 3.
Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.

80. Решите уравнение:

1) $x^{10} + 31x^5 - 32 = 0;$

2) $x^8 - 14x^4 + 13 = 0;$

3) $x^{12} - 5x^6 - 24 = 0.$

1) $x^{10} + 31x^5 - 32 = 0$

Данное уравнение можно решить методом замены переменной, так как оно является квадратным относительно $x^5$.

Пусть $y = x^5$. Тогда $x^{10} = (x^5)^2 = y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + 31y - 32 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-31$, а их произведение равно $-32$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-32$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -32$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для первого корня $y_1 = 1$:

$x^5 = 1$

$x = \sqrt[5]{1}$

$x = 1$

Для второго корня $y_2 = -32$:

$x^5 = -32$

$x = \sqrt[5]{-32}$

$x = -2$

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-2; 1$.

2) $x^8 - 14x^4 + 13 = 0$

Это уравнение также решается методом замены. Оно является биквадратным уравнением.

Пусть $y = x^4$. Тогда $x^8 = (x^4)^2 = y^2$. Заменим $x^4$ на $y$ в исходном уравнении:

$y^2 - 14y + 13 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $14$, а произведение равно $13$. Корни легко находятся:

$y_1 = 1$

$y_2 = 13$

Теперь вернемся к переменной $x$. Поскольку $y = x^4$, значение $y$ не может быть отрицательным для действительных $x$. Оба найденных корня ($1$ и $13$) положительны, поэтому для каждого из них существуют действительные решения для $x$.

Для первого корня $y_1 = 1$:

$x^4 = 1$

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

$x = \pm 1$

Для второго корня $y_2 = 13$:

$x^4 = 13$

$x = \pm \sqrt[4]{13}$

В итоге получаем четыре действительных корня.

Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt[4]{13}$.

3) $x^{12} - 5x^6 - 24 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному, так как оно является квадратным относительно $x^6$.

Выполним замену: пусть $y = x^6$. Тогда $x^{12} = (x^6)^2 = y^2$. Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 5y - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену для $x$.

Для первого корня $y_1 = 8$:

$x^6 = 8$

$x = \pm \sqrt[6]{8}$

Упростим корень: $\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $x = \pm \sqrt{2}$.

Для второго корня $y_2 = -3$:

$x^6 = -3$

Так как $x$ в четной степени ($6$) не может быть отрицательным числом, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\pm \sqrt{2}$.

81. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 25)\sqrt[18]{4 - x} = 0;$

2) $(x - 8)\sqrt[20]{x^2 - 12x + 27} = 0;$

3) $(|x| - 8)\sqrt[22]{5 - x} = 0.$

1) $(x^2 - 25)\sqrt[18]{4 - x} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени (18), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$4 - x \ge 0$
$x \le 4$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 4]$.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

а) $x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

б) $\sqrt[18]{4 - x} = 0$
$4 - x = 0$
$x_3 = 4$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
$x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \le 4$, следовательно, не является корнем уравнения.
$x_2 = -5$ удовлетворяет условию $x \le 4$.
$x_3 = 4$ удовлетворяет условию $x \le 4$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -5$ и $x = 4$.
Ответ: $\{-5; 4\}$

2) $(x - 8)^{20}\sqrt{x^2 - 12x + 27} = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 12x + 27 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 27 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$, $x_1 \cdot x_2 = 27$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.
Парабола $y = x^2 - 12x + 27$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \le 3$ и $x \ge 9$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 3] \cup [9; \infty)$.

Рассмотрим случаи, когда произведение равно нулю:

а) $(x - 8)^{20} = 0$
$x - 8 = 0$
$x_1 = 8$

б) $\sqrt{x^2 - 12x + 27} = 0$
$x^2 - 12x + 27 = 0$
$x_2 = 3$, $x_3 = 9$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
$x_1 = 8$ не принадлежит ОДЗ, так как $8 \notin (-\infty; 3] \cup [9; \infty)$.
$x_2 = 3$ принадлежит ОДЗ.
$x_3 = 9$ принадлежит ОДЗ.

Решениями уравнения являются $x = 3$ и $x = 9$.
Ответ: $\{3; 9\}$

3) $(|x| - 8)^{22}\sqrt{5 - x} = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x \ge 0$
$x \le 5$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 5]$.

Рассмотрим случаи, когда произведение равно нулю:

а) $(|x| - 8)^{22} = 0$
$|x| - 8 = 0$
$|x| = 8$
$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

б) $\sqrt{5 - x} = 0$
$5 - x = 0$
$x_3 = 5$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
$x_1 = 8$ не удовлетворяет условию $x \le 5$.
$x_2 = -8$ удовлетворяет условию $x \le 5$.
$x_3 = 5$ удовлетворяет условию $x \le 5$.

Решениями уравнения являются $x = -8$ и $x = 5$.
Ответ: $\{-8; 5\}$