Страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25} \geq 0;$

2) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 8x + 15} \leq 0.$

Решим неравенство $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25} \ge 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 + 5x = x(x+5)$.

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (по формуле разности квадратов).

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$(x-5)(x+5) \ne 0$, откуда получаем $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x+5)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-5$.

Нули знаменателя: $(x-5)(x+5)=0 \Rightarrow x=5$ или $x=-5$.

Отметим полученные точки $(-5, 0, 5)$ на числовой оси. Точки, в которых знаменатель равен нулю ($x=5$ и $x=-5$), выкалываем (они не входят в решение). Точка, в которой числитель равен нулю ($x=0$), будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

При условии $x \ne -5$, можно сократить дробь на $(x+5)$. Неравенство примет вид $\frac{x}{x-5} \ge 0$. Решим это упрощенное неравенство, помня об ОДЗ.

Критическими точками являются $x=0$ и $x=5$. Они разбивают числовую ось на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x}{x-5}$ на каждом из них:

• Интервал $(5, +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{6}{6-5} = 6 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(0, 5)$: возьмем $x=1$, $\frac{1}{1-5} = -0.25 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty, 0)$: возьмем $x=-1$, $\frac{-1}{-1-5} = \frac{1}{6} > 0$. Знак "+".

Мы ищем промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, 0]$ и $(5, +\infty)$.

Теперь вернемся к ОДЗ: $x \ne -5$. Точка $x=-5$ попадает в промежуток $(-\infty, 0]$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Окончательное множество решений: $(-\infty, -5) \cup (-5, 0] \cup (5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (-5, 0] \cup (5, +\infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 8x + 15} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Для разложения знаменателя $x^2 - 8x + 15$ найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корни равны 3 и 5. Тогда $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x-5)} \le 0$.

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

$(x-3)(x-5) \ne 0$, откуда $x \ne 3$ и $x \ne 5$.

Так как $x \ne 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$. Получим более простое неравенство:

$\frac{x-3}{x-5} \le 0$.

Решим его методом интервалов. Критические точки: $x=3$ (нуль числителя) и $x=5$ (нуль знаменателя).

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x-5}$ на полученных интервалах:

• Интервал $(5, +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{6-3}{6-5} = 3 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(3, 5)$: возьмем $x=4$, $\frac{4-3}{4-5} = -1 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty, 3)$: возьмем $x=0$, $\frac{0-3}{0-5} = 0.6 > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где стоит знак "-", а также точка, где числитель равен нулю. Получаем промежуток $[3, 5)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, согласно которому $x \ne 3$ и $x \ne 5$.

Из решения $[3, 5)$ нужно исключить точку $x=3$. Точка $x=5$ уже исключена.

Таким образом, решением является интервал $(3, 5)$.

Ответ: $(3, 5)$.

41. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 6}{|x - 4|} \ge 0;$

2) $\frac{|x + 2|}{x^2 - 2x - 63} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 5x - 6}{|x + 2|(x - 3)} \le 0.$

1)
Дано неравенство: $\frac{x^2 + x - 6}{|x - 4|} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x - 4| \ne 0$, что означает $x - 4 \ne 0$, следовательно, $x \ne 4$.
Выражение в знаменателе $|x - 4|$ всегда положительно при $x \ne 4$. Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x - 6 \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases}$
Решим квадратное неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x + 3)(x - 2) \ge 0$.
Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Теперь учтем ОДЗ, исключив точку $x = 4$ из полученного решения.
Точка $x=4$ попадает в промежуток $[2, \infty)$, поэтому мы должны "выколоть" ее.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, 4) \cup (4, \infty)$.

2)
Дано неравенство: $\frac{|x + 2|}{x^2 - 2x - 63} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2x - 63 \ne 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 16}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{2 + 16}{2} = 9$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ne -7$ и $x \ne 9$.
Числитель $|x + 2|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x + 2| \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
а) $|x + 2| = 0$, то есть $x = -2$. При этом значении числитель равен нулю, и вся дробь равна нулю. Неравенство $0 \ge 0$ является верным. Точка $x=-2$ входит в ОДЗ. Следовательно, $x = -2$ является решением.
б) $|x + 2| > 0$, то есть $x \ne -2$. В этом случае числитель строго положителен. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть строго положителен.
$x^2 - 2x - 63 > 0$.
Разложим на множители: $(x + 7)(x - 9) > 0$.
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -7) \cup (9, \infty)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup \{-2\} \cup (9, \infty)$.

3)
Дано неравенство: $\frac{x^2 - 5x - 6}{|x + 2|(x - 3)} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$|x + 2| \ne 0 \implies x \ne -2$.
$x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$.
Итак, ОДЗ: $x \ne -2$ и $x \ne 3$.
При $x \ne -2$, выражение $|x + 2|$ всегда строго положительно и не влияет на знак дроби. Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \frac{x^2 - 5x - 6}{x - 3} \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases}$
Разложим числитель $x^2 - 5x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Получаем неравенство: $\frac{(x - 6)(x + 1)}{x - 3} \le 0$.
Решим его методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($x=-1, x=6$) и нуль знаменателя ($x=3$). Нули числителя будут закрашенными точками, а нуль знаменателя - выколотой.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > 6$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$
- при $-1 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$
- при $x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -1] \cup (3, 6]$.
Теперь учтем ОДЗ, а именно $x \ne -2$. Точка $x = -2$ попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, поэтому ее нужно исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup (3, 6]$.

42. Решите неравенство:

1) $\frac{x - 4}{x - 5} \le \frac{3x + 8}{x - 5}$;

2) $\frac{7x}{3x - 4} \ge 1$;

3) $\frac{x^2 + 8x}{x + 6} \le \frac{20}{x + 6}$;

4) $\frac{x^2 + x}{x + 3} \ge 2$.

1) Исходное неравенство: $\frac{x-4}{x-5} \le \frac{3x+8}{x-5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\frac{x-4}{x-5} - \frac{3x+8}{x-5} \le 0$
Приведем к общему знаменателю: $\frac{(x-4) - (3x+8)}{x-5} \le 0$
$\frac{x-4-3x-8}{x-5} \le 0$
$\frac{-2x-12}{x-5} \le 0$
Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x+6}{x-5} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x+6 = 0 \Rightarrow x = -6$
$x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$
Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=-6$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=5$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -6]$, $[-6, 5)$ и $(5, +\infty)$.
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6+6}{6-5} = 12 > 0$. Интервал подходит.
- При $-6 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{0-5} = -1.2 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{-7-5} = \frac{-1}{-12} > 0$. Интервал подходит.
Решением является объединение интервалов, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup (5, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\frac{7x}{3x-4} \ge 1$.
ОДЗ: $3x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3}$.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{7x}{3x-4} - 1 \ge 0$
$\frac{7x - (3x-4)}{3x-4} \ge 0$
$\frac{7x - 3x + 4}{3x-4} \ge 0$
$\frac{4x+4}{3x-4} \ge 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $4x+4 = 0 \Rightarrow x = -1$
$3x-4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$
Отметим точки на числовой оси: $x=-1$ (включительно) и $x=\frac{4}{3}$ (исключительно). Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -1]$, $[-1, \frac{4}{3})$ и $(\frac{4}{3}, +\infty)$.
- При $x > \frac{4}{3}$ (например, $x=2$): $\frac{4(2)+4}{3(2)-4} = \frac{12}{2} > 0$. Интервал подходит.
- При $-1 < x < \frac{4}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)+4}{3(0)-4} = -1 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2)+4}{3(-2)-4} = \frac{-4}{-10} > 0$. Интервал подходит.
Решением является объединение интервалов, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\frac{x^2+8x}{x+6} \le \frac{20}{x+6}$.
ОДЗ: $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$.
Перенесем все в левую часть: $\frac{x^2+8x - 20}{x+6} \le 0$
Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2+8x-20=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$x_{1} = \frac{-8 - 12}{2} = -10$
$x_{2} = \frac{-8 + 12}{2} = 2$
Разложим числитель на множители: $\frac{(x+10)(x-2)}{x+6} \le 0$.
Нули числителя: $x=-10, x=2$. Нуль знаменателя: $x=-6$.
Отметим точки на числовой оси: $x=-10$ и $x=2$ (включительно), $x=-6$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -10]$, $[-10, -6)$, $(-6, 2]$ и $[2, +\infty)$.
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $-6 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Интервал подходит.
- При $-10 < x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
- При $x < -10$ (например, $x=-11$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал подходит.
Решением является объединение интервалов, где выражение неположительно.
Ответ: $x \in (-\infty, -10] \cup (-6, 2]$.

4) Исходное неравенство: $\frac{x^2+x}{x+3} \ge 2$.
ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2+x}{x+3} - 2 \ge 0$
$\frac{x^2+x - 2(x+3)}{x+3} \ge 0$
$\frac{x^2+x-2x-6}{x+3} \ge 0$
$\frac{x^2-x-6}{x+3} \ge 0$
Найдем корни числителя, решив уравнение $x^2-x-6=0$.
По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-2$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(x-3)(x+2)}{x+3} \ge 0$.
Нули числителя: $x=3, x=-2$. Нуль знаменателя: $x=-3$.
Отметим точки на оси: $x=3$ и $x=-2$ (включительно), $x=-3$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -2]$, $[-2, 3]$ и $[3, +\infty)$.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
- При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
- При $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Решением является объединение интервалов, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [3, +\infty)$.

43. Решите неравенство:

1) $\frac{6}{x} - \frac{4}{x+1} > 1;$

2) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \ge \frac{3}{4x};$

3) $\frac{6}{x^2-1} - \frac{5}{x^2-9} \le 0;$

4) $\frac{3x+1}{x^2+x-6} > \frac{1}{3};$

5) $\frac{5x}{x^2-4x+3} + \frac{2}{x-1} \ge \frac{3}{x-3}.$

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} < 0;$

2) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0;$

3) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \leq 0;$

4) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \geq 0.$

Для решения всех четырех неравенств сначала проанализируем выражения, входящие в них. Обозначим $f(x) = x^2 - 6x + 8$ и $g(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 9}$.

Анализ множителя $f(x) = x^2 - 6x + 8$:
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, то:

• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$
• $f(x) < 0$ при $x \in (2, 4)$
• $f(x) = 0$ при $x = 2$ или $x = 4$

Анализ множителя $g(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 9}$:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство $x^2 + 10x + 9 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 10x + 9 = 0$ по теореме Виета: $x_3 = -9$, $x_4 = -1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, $x^2 + 10x + 9 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -9] \cup [-1, \infty)$. Это ОДЗ для всех исходных неравенств.
В своей области определения корень всегда неотрицателен, то есть $g(x) \ge 0$:

• $g(x) > 0$ при $x^2 + 10x + 9 > 0$, то есть при $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, \infty)$
• $g(x) = 0$ при $x^2 + 10x + 9 = 0$, то есть при $x = -9$ или $x = -1$

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} < 0$
Произведение двух множителей отрицательно. Так как $\sqrt{x^2 + 10x + 9} \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы этот множитель был строго больше нуля, а первый множитель — строго меньше нуля. Это равносильно системе неравенств:$\begin{cases}x^2 - 6x + 8 < 0 \\x^2 + 10x + 9 > 0\end{cases}$
Решения этих неравенств из предварительного анализа:1) $x \in (2, 4)$2) $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, \infty)$
Найдем пересечение этих множеств: $x \in (2, 4) \cap ((-\infty, -9) \cup (-1, \infty))$. Интервал $(2, 4)$ полностью содержится в $(-1, \infty)$, поэтому пересечением будет $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (2, 4)$.

2) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0$
Произведение двух множителей положительно. Так как $\sqrt{x^2 + 10x + 9} \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы оба множителя были строго больше нуля. Это равносильно системе неравенств:$\begin{cases}x^2 - 6x + 8 > 0 \\x^2 + 10x + 9 > 0\end{cases}$
Решения этих неравенств из предварительного анализа:1) $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$2) $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, \infty)$
Найдем пересечение этих множеств: $x \in ((-\infty, 2) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, -9) \cup (-1, \infty))$.
Пересечение интервалов дает: $(-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$.

3) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \le 0$
Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.
1. Случай равенства нулю: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю (и при этом выражение определено).- $x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2$ или $x = 4$. Оба значения входят в ОДЗ.- $\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0 \implies x = -9$ или $x = -1$. Решения уравнения: $\{-9, -1, 2, 4\}$.
2. Случай строгого неравенства: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} < 0$.
Это неравенство решено в пункте 1), его решение: $x \in (2, 4)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем: $\{-9, -1, 2, 4\} \cup (2, 4) = \{-9, -1\} \cup [2, 4]$.
Ответ: $x \in \{-9, -1\} \cup [2, 4]$.

4) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \ge 0$
Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.
1. Случай равенства нулю: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0$.
Решения найдены в пункте 3): $x \in \{-9, -1, 2, 4\}$.
2. Случай строгого неравенства: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0$.
Это неравенство решено в пункте 2), его решение: $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем: $\{-9, -1, 2, 4\} \cup ((-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)) = (-\infty, -9] \cup [-1, 2] \cup [4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -9] \cup [-1, 2] \cup [4, \infty)$.

45. Решите неравенство $\left|\frac{x-5}{x^2-1}\right| \ge \frac{x-5}{x^2-1}$.

Данное неравенство имеет вид $|\frac{x-5}{x^2-1}| \ge \frac{x-5}{x^2-1}$.

Это неравенство вида $|A| \ge A$. Проанализируем его. По определению абсолютной величины (модуля), для любого действительного числа $A$ выполняется $|A| \ge A$.

Рассмотрим два случая:

1. Если выражение под модулем неотрицательно, то есть $\frac{x-5}{x^2-1} \ge 0$, то $| \frac{x-5}{x^2-1} | = \frac{x-5}{x^2-1}$. Неравенство принимает вид $\frac{x-5}{x^2-1} \ge \frac{x-5}{x^2-1}$, что является верным тождеством.

2. Если выражение под модулем отрицательно, то есть $\frac{x-5}{x^2-1} < 0$, то $| \frac{x-5}{x^2-1} | = -(\frac{x-5}{x^2-1})$. Неравенство принимает вид $-\frac{x-5}{x^2-1} \ge \frac{x-5}{x^2-1}$. Это равносильно $0 \ge 2 \cdot \frac{x-5}{x^2-1}$, или $\frac{x-5}{x^2-1} \le 0$. Это утверждение также верно, так как мы рассматриваем случай, когда выражение отрицательно.

Таким образом, исходное неравенство справедливо для всех значений $x$, при которых выражение $\frac{x-5}{x^2-1}$ имеет смысл (определено).

Выражение не определено только в том случае, когда его знаменатель равен нулю. Найдем эти значения $x$:

$x^2 - 1 = 0$

$(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда $x=1$ и $x=-1$.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

46. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(x + 6)(x - a) > 0;$

2) $(x + 6)(x - a)^2 < 0;$

3) $(x + 6)(x - a)^2 \le 0;$

4) $(x - a)(x - 1)^2 < 0;$

5) $(x - a)(x - 1)^2 \le 0;$

6) $\frac{x+5}{x-a} \ge 0;$

7) $\frac{(x+2)(x-a)}{x+2} \le 0;$

8) $\frac{(x+2)(x-a)}{x-a} \ge 0.$

1) $(x+6)(x-a) > 0$

Это квадратичное неравенство. Корни левой части $x_1 = -6$ и $x_2 = a$. Решение зависит от взаимного расположения корней на числовой оси.

Случай 1: $a > -6$.
Корни на оси: $-6$ и $a$. Парабола $y=(x+6)(x-a)$ с ветвями вверх, положительные значения находятся вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -6) \cup (a, \infty)$.

Случай 2: $a < -6$.
Корни на оси: $a$ и $-6$. Аналогично, решение находится вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (-6, \infty)$.

Случай 3: $a = -6$.
Неравенство принимает вид $(x+6)^2 > 0$. Это выражение истинно для всех $x$, кроме тех, где оно равно нулю, то есть $x \neq -6$.
Решение: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, \infty)$.

Ответ: если $a > -6$, то $x \in (-\infty, -6) \cup (a, \infty)$; если $a < -6$, то $x \in (-\infty, a) \cup (-6, \infty)$; если $a = -6$, то $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, \infty)$.

2) $(x+6)(x-a)^2 < 0$

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $x \neq a$. Тогда первый множитель $(x+6)$ должен быть строго отрицателен: $x+6 < 0$, что означает $x < -6$. Таким образом, нужно найти пересечение условий $x < -6$ и $x \neq a$.

Случай 1: $a \ge -6$.
Условие $x < -6$ гарантирует, что $x \neq a$.
Решение: $x \in (-\infty, -6)$.

Случай 2: $a < -6$.
Интервал $x < -6$ включает значение $a$. Мы должны его исключить.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (a, -6)$.

Ответ: если $a \ge -6$, то $x \in (-\infty, -6)$; если $a < -6$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, -6)$.

3) $(x+6)(x-a)^2 \le 0$

Неравенство выполняется, когда $(x+6)(x-a)^2 < 0$ или когда $(x+6)(x-a)^2 = 0$. Решение для строгого неравенства было найдено в предыдущем пункте. Равенство достигается при $x=-6$ или $x=a$. Объединим эти решения.

Случай 1: $a > -6$.
Решение для строгого неравенства: $x \in (-\infty, -6)$. Добавляем точки, где выражение равно нулю: $x=-6$ и $x=a$. Точка $x=-6$ замыкает интервал, а $x=a$ является изолированным решением.
Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup \{a\}$.

Случай 2: $a \le -6$.
Если $a < -6$, решение для строгого неравенства: $x \in (-\infty, a) \cup (a, -6)$. Добавляем $x=a$ (что заполняет "прокол") и $x=-6$ (что замыкает интервал). Получаем $x \in (-\infty, -6]$.
Если $a=-6$, неравенство становится $(x+6)^3 \le 0$, что равносильно $x+6 \le 0$, т.е. $x \le -6$. Решение: $x \in (-\infty, -6]$.
Объединяя, для $a \le -6$ решение: $x \in (-\infty, -6]$.

Ответ: если $a > -6$, то $x \in (-\infty, -6] \cup \{a\}$; если $a \le -6$, то $x \in (-\infty, -6]$.

4) $(x-a)(x-1)^2 < 0$

Аналогично пункту 2, множитель $(x-1)^2$ должен быть строго положителен, т.е. $x \neq 1$. Тогда множитель $(x-a)$ должен быть строго отрицателен: $x-a < 0$, что означает $x < a$. Ищем пересечение условий $x < a$ и $x \neq 1$.

Случай 1: $a > 1$.
Интервал $x < a$ содержит точку $x=1$, которую нужно исключить.
Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$.

Случай 2: $a \le 1$.
Условие $x < a$ гарантирует, что $x < 1$, поэтому $x \neq 1$ выполняется автоматически.
Решение: $x \in (-\infty, a)$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$; если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, a)$.

5) $(x-a)(x-1)^2 \le 0$

Решение этого неравенства состоит из решений строгого неравенства $(x-a)(x-1)^2 < 0$ (пункт 4) и решений уравнения $(x-a)(x-1)^2 = 0$ (т.е. $x=a$ и $x=1$).

Случай 1: $a \ge 1$.
Если $a > 1$, решение строгого неравенства $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$. Добавляем корни $x=1$ (заполняет "прокол") и $x=a$ (замыкает интервал). Получаем $x \in (-\infty, a]$.
Если $a=1$, неравенство становится $(x-1)^3 \le 0$, что равносильно $x-1 \le 0$, т.е. $x \le 1$. Решение $x \in (-\infty, 1]$, что соответствует общей формуле $x \in (-\infty, a]$.
Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Случай 2: $a < 1$.
Решение строгого неравенства: $x \in (-\infty, a)$. Добавляем корни $x=a$ (замыкает интервал) и $x=1$ (изолированная точка).
Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{1\}$.

Ответ: если $a \ge 1$, то $x \in (-\infty, a]$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{1\}$.

6) $\frac{x+5}{x-a} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=-5$. Нуль знаменателя: $x=a$. При этом $x \neq a$.

Случай 1: $a > -5$.
На числовой оси точки $-5$ и $a$. Интервалы знакопостоянства: $(-\infty, -5]$, $[-5, a)$, $(a, \infty)$. Знаки выражения: +, -, +. Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда знак плюс, а также в нуле числителя.
Решение: $x \in (-\infty, -5] \cup (a, \infty)$.

Случай 2: $a < -5$.
На числовой оси точки $a$ и $-5$. Интервалы: $(-\infty, a)$, $(a, -5]$, $[-5, \infty)$. Знаки: +, -, +.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup [-5, \infty)$.

Случай 3: $a = -5$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+5}{x+5} \ge 0$. При $x \neq -5$ выражение равно 1, и неравенство $1 \ge 0$ истинно. При $x=-5$ выражение не определено.
Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, \infty)$.

Ответ: если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5] \cup (a, \infty)$; если $a < -5$, то $x \in (-\infty, a) \cup [-5, \infty)$; если $a = -5$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, \infty)$.

7) $\frac{(x+2)(x-a)}{x+2} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$, т.е. $x \neq -2$. На ОДЗ можно сократить дробь, и неравенство становится равносильным системе:
$\begin{cases} x-a \le 0 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le a \\ x \neq -2 \end{cases}$

Случай 1: $a > -2$.
Решение $x \le a$ представляет собой интервал $(-\infty, a]$. Точка $x=-2$ попадает в этот интервал, поэтому ее нужно исключить.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a]$.

Случай 2: $a = -2$.
Система принимает вид $\begin{cases} x \le -2 \\ x \neq -2 \end{cases}$, что равносильно $x < -2$.
Решение: $x \in (-\infty, -2)$.

Случай 3: $a < -2$.
Из условия $x \le a$ следует, что $x < -2$, поэтому условие $x \neq -2$ выполняется автоматически.
Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a]$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, -2)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a]$.

8) $\frac{(x+2)(x-a)}{x-a} \ge 0$

ОДЗ: $x-a \neq 0$, т.е. $x \neq a$. На ОДЗ неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x \neq a \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \neq a \end{cases}$

Случай 1: $a > -2$.
Решение $x \ge -2$ представляет собой интервал $[-2, \infty)$. Точка $x=a$ попадает в этот интервал, поэтому ее нужно исключить.
Решение: $x \in [-2, a) \cup (a, \infty)$.

Случай 2: $a = -2$.
Система принимает вид $\begin{cases} x \ge -2 \\ x \neq -2 \end{cases}$, что равносильно $x > -2$.
Решение: $x \in (-2, \infty)$.

Случай 3: $a < -2$.
Из условия $x \ge -2$ следует, что $x > a$, поэтому условие $x \neq a$ выполняется автоматически.
Решение: $x \in [-2, \infty)$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in [-2, a) \cup (a, \infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-2, \infty)$; если $a < -2$, то $x \in [-2, \infty)$.