Номер 41, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 6}{|x - 4|} \ge 0;$

2) $\frac{|x + 2|}{x^2 - 2x - 63} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 5x - 6}{|x + 2|(x - 3)} \le 0.$

1)
Дано неравенство: $\frac{x^2 + x - 6}{|x - 4|} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x - 4| \ne 0$, что означает $x - 4 \ne 0$, следовательно, $x \ne 4$.
Выражение в знаменателе $|x - 4|$ всегда положительно при $x \ne 4$. Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x - 6 \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases}$
Решим квадратное неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x + 3)(x - 2) \ge 0$.
Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Теперь учтем ОДЗ, исключив точку $x = 4$ из полученного решения.
Точка $x=4$ попадает в промежуток $[2, \infty)$, поэтому мы должны "выколоть" ее.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, 4) \cup (4, \infty)$.

2)
Дано неравенство: $\frac{|x + 2|}{x^2 - 2x - 63} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2x - 63 \ne 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 16}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{2 + 16}{2} = 9$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ne -7$ и $x \ne 9$.
Числитель $|x + 2|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x + 2| \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
а) $|x + 2| = 0$, то есть $x = -2$. При этом значении числитель равен нулю, и вся дробь равна нулю. Неравенство $0 \ge 0$ является верным. Точка $x=-2$ входит в ОДЗ. Следовательно, $x = -2$ является решением.
б) $|x + 2| > 0$, то есть $x \ne -2$. В этом случае числитель строго положителен. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть строго положителен.
$x^2 - 2x - 63 > 0$.
Разложим на множители: $(x + 7)(x - 9) > 0$.
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -7) \cup (9, \infty)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup \{-2\} \cup (9, \infty)$.

3)
Дано неравенство: $\frac{x^2 - 5x - 6}{|x + 2|(x - 3)} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$|x + 2| \ne 0 \implies x \ne -2$.
$x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$.
Итак, ОДЗ: $x \ne -2$ и $x \ne 3$.
При $x \ne -2$, выражение $|x + 2|$ всегда строго положительно и не влияет на знак дроби. Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \frac{x^2 - 5x - 6}{x - 3} \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases}$
Разложим числитель $x^2 - 5x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Получаем неравенство: $\frac{(x - 6)(x + 1)}{x - 3} \le 0$.
Решим его методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($x=-1, x=6$) и нуль знаменателя ($x=3$). Нули числителя будут закрашенными точками, а нуль знаменателя - выколотой.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > 6$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$
- при $-1 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$
- при $x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -1] \cup (3, 6]$.
Теперь учтем ОДЗ, а именно $x \ne -2$. Точка $x = -2$ попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, поэтому ее нужно исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup (3, 6]$.