Номер 43, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1) $\frac{6}{x} - \frac{4}{x+1} > 1$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6}{x} - \frac{4}{x+1} - 1 > 0$

$\frac{6(x+1) - 4x - x(x+1)}{x(x+1)} > 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{6x + 6 - 4x - x^2 - x}{x(x+1)} > 0$

$\frac{-x^2 + x + 6}{x(x+1)} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - x - 6}{x(x+1)} < 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

$\frac{(x-3)(x+2)}{x(x+1)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = 3$, $x = -2$. Нули знаменателя: $x = 0$, $x = -1$. Отметим эти точки на числовой прямой (все точки выколотые). Определим знаки на полученных интервалах:

$(-\infty, -2): +$

$(-2, -1): -$

$(-1, 0): +$

$(0, 3): -$

$(3, +\infty): +$

Выбираем интервалы, на которых выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, 3)$.

2) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \ge \frac{3}{4x}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $4x(x-2)(x+2)$:

$\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{4x} \ge 0$

$\frac{4x(x+2) + 4x(x-2) - 3(x-2)(x+2)}{4x(x-2)(x+2)} \ge 0$

$\frac{4x^2 + 8x + 4x^2 - 8x - 3(x^2 - 4)}{4x(x-2)(x+2)} \ge 0$

$\frac{8x^2 - 3x^2 + 12}{4x(x-2)(x+2)} \ge 0$

$\frac{5x^2 + 12}{4x(x-2)(x+2)} \ge 0$

Числитель $5x^2 + 12$ всегда положителен при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака знаменателя.

$4x(x-2)(x+2) > 0$

$x(x-2)(x+2) > 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=0, x=2, x=-2$.

Определим знаки на интервалах:

$(-\infty, -2): -$

$(-2, 0): +$

$(0, 2): -$

$(2, +\infty): +$

Выбираем интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$.

3) $\frac{6}{x^2-1} - \frac{5}{x^2-9} \le 0$

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{6}{(x-1)(x+1)} - \frac{5}{(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{6(x^2-9) - 5(x^2-1)}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{6x^2 - 54 - 5x^2 + 5}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{x^2 - 49}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{(x-7)(x+7)}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 7, x = -7$. Нули знаменателя: $x = 1, x = -1, x = 3, x = -3$.

Точки $x=7$ и $x=-7$ включаем в решение, а точки $x=\pm 1, x=\pm 3$ исключаем. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки:

$(-\infty, -7]: +$

$[-7, -3): -$

$(-3, -1): +$

$(-1, 1): -$

$(1, 3): +$

$(3, 7]: -$

$[7, +\infty): +$

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю.

Ответ: $x \in [-7, -3) \cup (-1, 1) \cup (3, 7]$.

4) $\frac{3x+1}{x^2+x-6} > \frac{1}{3}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{3x+1}{x^2+x-6} - \frac{1}{3} > 0$

Разложим знаменатель $x^2+x-6$ на множители. Корни уравнения $x^2+x-6=0$ равны $x_1=2, x_2=-3$. Получаем $(x-2)(x+3)$.

$\frac{3x+1}{(x-2)(x+3)} - \frac{1}{3} > 0$

Приведем к общему знаменателю $3(x-2)(x+3)$:

$\frac{3(3x+1) - 1(x^2+x-6)}{3(x-2)(x+3)} > 0$

$\frac{9x+3 - x^2 - x + 6}{3(x-2)(x+3)} > 0$

$\frac{-x^2 + 8x + 9}{3(x-2)(x+3)} > 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 8x - 9}{3(x-2)(x+3)} < 0$

Так как 3 - положительное число, его можно отбросить. Разложим числитель $x^2 - 8x - 9$ на множители. Корни: $x_1=9, x_2=-1$.

$\frac{(x-9)(x+1)}{(x-2)(x+3)} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=9, x=-1$. Нули знаменателя: $x=2, x=-3$. Все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах:

$(-\infty, -3): +$

$(-3, -1): -$

$(-1, 2): +$

$(2, 9): -$

$(9, +\infty): +$

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (2, 9)$.

5) $\frac{5x}{x^2-4x+3} + \frac{2}{x-1} \ge \frac{3}{x-3}$

Разложим знаменатель $x^2-4x+3$ на множители. Корни уравнения $x^2-4x+3=0$ равны $x_1=1, x_2=3$. Получаем $(x-1)(x-3)$.

$\frac{5x}{(x-1)(x-3)} + \frac{2}{x-1} - \frac{3}{x-3} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-3)$:

$\frac{5x + 2(x-3) - 3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \ge 0$

$\frac{5x + 2x - 6 - 3x + 3}{(x-1)(x-3)} \ge 0$

$\frac{4x - 3}{(x-1)(x-3)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $4x-3=0 \implies x = 3/4$. Нули знаменателя: $x=1, x=3$.

Точку $x=3/4$ включаем, а точки $x=1, x=3$ исключаем. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки:

$(-\infty, 3/4]: -$

$[3/4, 1): +$

$(1, 3): -$

$(3, +\infty): +$

Выбираем интервалы, где выражение положительно или равно нулю.

Ответ: $x \in [3/4, 1) \cup (3, +\infty)$.