Номер 46, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(x + 6)(x - a) > 0;$

2) $(x + 6)(x - a)^2 < 0;$

3) $(x + 6)(x - a)^2 \le 0;$

4) $(x - a)(x - 1)^2 < 0;$

5) $(x - a)(x - 1)^2 \le 0;$

6) $\frac{x+5}{x-a} \ge 0;$

7) $\frac{(x+2)(x-a)}{x+2} \le 0;$

8) $\frac{(x+2)(x-a)}{x-a} \ge 0.$

1) $(x+6)(x-a) > 0$

Это квадратичное неравенство. Корни левой части $x_1 = -6$ и $x_2 = a$. Решение зависит от взаимного расположения корней на числовой оси.

Случай 1: $a > -6$.
Корни на оси: $-6$ и $a$. Парабола $y=(x+6)(x-a)$ с ветвями вверх, положительные значения находятся вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -6) \cup (a, \infty)$.

Случай 2: $a < -6$.
Корни на оси: $a$ и $-6$. Аналогично, решение находится вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (-6, \infty)$.

Случай 3: $a = -6$.
Неравенство принимает вид $(x+6)^2 > 0$. Это выражение истинно для всех $x$, кроме тех, где оно равно нулю, то есть $x \neq -6$.
Решение: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, \infty)$.

Ответ: если $a > -6$, то $x \in (-\infty, -6) \cup (a, \infty)$; если $a < -6$, то $x \in (-\infty, a) \cup (-6, \infty)$; если $a = -6$, то $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, \infty)$.

2) $(x+6)(x-a)^2 < 0$

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $x \neq a$. Тогда первый множитель $(x+6)$ должен быть строго отрицателен: $x+6 < 0$, что означает $x < -6$. Таким образом, нужно найти пересечение условий $x < -6$ и $x \neq a$.

Случай 1: $a \ge -6$.
Условие $x < -6$ гарантирует, что $x \neq a$.
Решение: $x \in (-\infty, -6)$.

Случай 2: $a < -6$.
Интервал $x < -6$ включает значение $a$. Мы должны его исключить.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (a, -6)$.

Ответ: если $a \ge -6$, то $x \in (-\infty, -6)$; если $a < -6$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, -6)$.

3) $(x+6)(x-a)^2 \le 0$

Неравенство выполняется, когда $(x+6)(x-a)^2 < 0$ или когда $(x+6)(x-a)^2 = 0$. Решение для строгого неравенства было найдено в предыдущем пункте. Равенство достигается при $x=-6$ или $x=a$. Объединим эти решения.

Случай 1: $a > -6$.
Решение для строгого неравенства: $x \in (-\infty, -6)$. Добавляем точки, где выражение равно нулю: $x=-6$ и $x=a$. Точка $x=-6$ замыкает интервал, а $x=a$ является изолированным решением.
Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup \{a\}$.

Случай 2: $a \le -6$.
Если $a < -6$, решение для строгого неравенства: $x \in (-\infty, a) \cup (a, -6)$. Добавляем $x=a$ (что заполняет "прокол") и $x=-6$ (что замыкает интервал). Получаем $x \in (-\infty, -6]$.
Если $a=-6$, неравенство становится $(x+6)^3 \le 0$, что равносильно $x+6 \le 0$, т.е. $x \le -6$. Решение: $x \in (-\infty, -6]$.
Объединяя, для $a \le -6$ решение: $x \in (-\infty, -6]$.

Ответ: если $a > -6$, то $x \in (-\infty, -6] \cup \{a\}$; если $a \le -6$, то $x \in (-\infty, -6]$.

4) $(x-a)(x-1)^2 < 0$

Аналогично пункту 2, множитель $(x-1)^2$ должен быть строго положителен, т.е. $x \neq 1$. Тогда множитель $(x-a)$ должен быть строго отрицателен: $x-a < 0$, что означает $x < a$. Ищем пересечение условий $x < a$ и $x \neq 1$.

Случай 1: $a > 1$.
Интервал $x < a$ содержит точку $x=1$, которую нужно исключить.
Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$.

Случай 2: $a \le 1$.
Условие $x < a$ гарантирует, что $x < 1$, поэтому $x \neq 1$ выполняется автоматически.
Решение: $x \in (-\infty, a)$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$; если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, a)$.

5) $(x-a)(x-1)^2 \le 0$

Решение этого неравенства состоит из решений строгого неравенства $(x-a)(x-1)^2 < 0$ (пункт 4) и решений уравнения $(x-a)(x-1)^2 = 0$ (т.е. $x=a$ и $x=1$).

Случай 1: $a \ge 1$.
Если $a > 1$, решение строгого неравенства $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$. Добавляем корни $x=1$ (заполняет "прокол") и $x=a$ (замыкает интервал). Получаем $x \in (-\infty, a]$.
Если $a=1$, неравенство становится $(x-1)^3 \le 0$, что равносильно $x-1 \le 0$, т.е. $x \le 1$. Решение $x \in (-\infty, 1]$, что соответствует общей формуле $x \in (-\infty, a]$.
Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Случай 2: $a < 1$.
Решение строгого неравенства: $x \in (-\infty, a)$. Добавляем корни $x=a$ (замыкает интервал) и $x=1$ (изолированная точка).
Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{1\}$.

Ответ: если $a \ge 1$, то $x \in (-\infty, a]$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{1\}$.

6) $\frac{x+5}{x-a} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=-5$. Нуль знаменателя: $x=a$. При этом $x \neq a$.

Случай 1: $a > -5$.
На числовой оси точки $-5$ и $a$. Интервалы знакопостоянства: $(-\infty, -5]$, $[-5, a)$, $(a, \infty)$. Знаки выражения: +, -, +. Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда знак плюс, а также в нуле числителя.
Решение: $x \in (-\infty, -5] \cup (a, \infty)$.

Случай 2: $a < -5$.
На числовой оси точки $a$ и $-5$. Интервалы: $(-\infty, a)$, $(a, -5]$, $[-5, \infty)$. Знаки: +, -, +.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup [-5, \infty)$.

Случай 3: $a = -5$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+5}{x+5} \ge 0$. При $x \neq -5$ выражение равно 1, и неравенство $1 \ge 0$ истинно. При $x=-5$ выражение не определено.
Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, \infty)$.

Ответ: если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5] \cup (a, \infty)$; если $a < -5$, то $x \in (-\infty, a) \cup [-5, \infty)$; если $a = -5$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, \infty)$.

7) $\frac{(x+2)(x-a)}{x+2} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$, т.е. $x \neq -2$. На ОДЗ можно сократить дробь, и неравенство становится равносильным системе:
$\begin{cases} x-a \le 0 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le a \\ x \neq -2 \end{cases}$

Случай 1: $a > -2$.
Решение $x \le a$ представляет собой интервал $(-\infty, a]$. Точка $x=-2$ попадает в этот интервал, поэтому ее нужно исключить.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a]$.

Случай 2: $a = -2$.
Система принимает вид $\begin{cases} x \le -2 \\ x \neq -2 \end{cases}$, что равносильно $x < -2$.
Решение: $x \in (-\infty, -2)$.

Случай 3: $a < -2$.
Из условия $x \le a$ следует, что $x < -2$, поэтому условие $x \neq -2$ выполняется автоматически.
Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a]$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, -2)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a]$.

8) $\frac{(x+2)(x-a)}{x-a} \ge 0$

ОДЗ: $x-a \neq 0$, т.е. $x \neq a$. На ОДЗ неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x \neq a \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \neq a \end{cases}$

Случай 1: $a > -2$.
Решение $x \ge -2$ представляет собой интервал $[-2, \infty)$. Точка $x=a$ попадает в этот интервал, поэтому ее нужно исключить.
Решение: $x \in [-2, a) \cup (a, \infty)$.

Случай 2: $a = -2$.
Система принимает вид $\begin{cases} x \ge -2 \\ x \neq -2 \end{cases}$, что равносильно $x > -2$.
Решение: $x \in (-2, \infty)$.

Случай 3: $a < -2$.
Из условия $x \ge -2$ следует, что $x > a$, поэтому условие $x \neq a$ выполняется автоматически.
Решение: $x \in [-2, \infty)$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in [-2, a) \cup (a, \infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-2, \infty)$; если $a < -2$, то $x \in [-2, \infty)$.