Номер 53, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^8$ на промежутке:

1) [-2; 0];

2) [1; 2];

3) [-2; 2];

4) $(-\infty; -1].$

1) [-2; 0]
Для функции $y=x^8$ на промежутке $(-\infty; 0]$ характерно убывание. Следовательно, на отрезке $[-2; 0]$, который является частью этого промежутка, наибольшее значение будет достигаться на левом конце, а наименьшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^8 = 256$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^8 = 0$.
Ответ: наибольшее значение равно 256, наименьшее значение равно 0.

2) [1; 2]
На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^8$ возрастает. Отрезок $[1; 2]$ принадлежит этому промежутку, поэтому наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^8 = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наибольшее значение равно 256, наименьшее значение равно 1.

3) [-2; 2]
На отрезке $[-2; 2]$ функция $y=x^8$ сначала убывает (на $[-2; 0]$), а затем возрастает (на $[0; 2]$). Точка $x=0$ является точкой глобального минимума для данной функции.
Наименьшее значение достигается в точке минимума:
$y_{наим} = y(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в этих точках:
$y(-2) = (-2)^8 = 256$.
$y(2) = 2^8 = 256$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно 256.
Ответ: наибольшее значение равно 256, наименьшее значение равно 0.

4) $(-\infty; -1]$
На промежутке $(-\infty; -1]$ функция $y=x^8$ является убывающей. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$.
Из-за убывания, наименьшее значение на промежутке $(-\infty; -1]$ достигается в его самой правой точке, то есть при $x=-1$.
$y_{наим} = y(-1) = (-1)^8 = 1$.
Так как при $x \to -\infty$ значение функции $y = x^8 \to +\infty$, функция не ограничена сверху на данном промежутке, и, следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.