Номер 56, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} -x^4 - 1, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x} - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < 1 \\ 3 - 2x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) $f(x) = \begin{cases} -x^4 - 1, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x} - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции рассмотрим две ее части.

На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком $y = -x^4 - 1$. Этот график можно получить из графика функции $y = x^4$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Это ветвь кривой, проходящая, например, через точки $(-1, -2)$ и $(-2, -17)$. При приближении $x$ к 0 слева, $y$ стремится к $-1$. Точка $(0, -1)$ является "выколотой" для этой части графика.

На промежутке $[0, +\infty)$ график функции совпадает с графиком $y = -\sqrt{x} - 1$. Этот график можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. График представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, -1)$ и проходит, например, через точки $(1, -2)$ и $(4, -3)$.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Функция непрерывна в точке $x=0$, так как значение функции в этой точке $f(0) = -1$ совпадает с пределом функции при $x \to 0$ слева. Из построенного графика видно, что функция возрастает до точки $x=0$ и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < 1 \\ 3 - 2x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Для построения графика данной функции также рассмотрим два промежутка.

На промежутке $(-\infty, 1)$ график функции совпадает с графиком степенной функции $y = x^5$. Это возрастающая функция, ее график проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(-1, -1)$. При приближении $x$ к 1 слева, значение $y$ стремится к $1^5=1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой" для этой части графика.

На промежутке $[1, +\infty)$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = 3 - 2x$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: при $x=1$, $y = 3 - 2(1) = 1$; при $x=2$, $y = 3 - 2(2) = -1$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(2, -1)$. Так как угловой коэффициент прямой $k=-2$ отрицателен, функция на этом промежутке убывает.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Функция непрерывна в точке $x=1$, так как значение функции $f(1) = 1$ совпадает с пределом функции при $x \to 1$ слева. Из построенного графика видно, что функция возрастает до точки $x=1$ и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.