Номер 52, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 2;$

2) $y = (x+2)^3;$

3) $y = x^4 - 2;$

4) $y = -\frac{1}{2}x^4.$

График функции $y = x^3 + 2$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола) путем его сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:

• При $x = -2$, $y = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6$. Точка (-2; -6).
• При $x = -1$, $y = (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка (-1; 1).
• При $x = 0$, $y = 0^3 + 2 = 2$. Точка (0; 2). Это точка перегиба, смещенная из начала координат.
• При $x = 1$, $y = 1^3 + 2 = 3$. Точка (1; 3).
• При $x = 2$, $y = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Точка (2; 10).

Соединив точки плавной линией, получаем график функции. Это кубическая парабола, симметричная относительно точки (0; 2) и проходящая через найденные точки.

Ответ: График функции $y = x^3 + 2$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы вверх по оси Oy.

График функции $y = (x + 2)^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем его сдвига на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Найдем координаты нескольких точек для построения:

• При $x = -4$, $y = (-4 + 2)^3 = (-2)^3 = -8$. Точка (-4; -8).
• При $x = -3$, $y = (-3 + 2)^3 = (-1)^3 = -1$. Точка (-3; -1).
• При $x = -2$, $y = (-2 + 2)^3 = 0^3 = 0$. Точка (-2; 0). Это точка перегиба и корень функции.
• При $x = -1$, $y = (-1 + 2)^3 = 1^3 = 1$. Точка (-1; 1).
• При $x = 0$, $y = (0 + 2)^3 = 2^3 = 8$. Точка (0; 8).

Соединяем точки плавной кривой. График представляет собой кубическую параболу, симметричную относительно точки (-2; 0).

Ответ: График функции $y = (x + 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы влево по оси Ox.

График функции $y = x^4 - 2$ можно построить, взяв за основу график функции $y = x^4$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy. Для получения искомого графика нужно сдвинуть график $y = x^4$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вычислим значения функции для нескольких точек:

• При $x = -2$, $y = (-2)^4 - 2 = 16 - 2 = 14$. Точка (-2; 14).
• При $x = -1$, $y = (-1)^4 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (-1; -1).
• При $x = 0$, $y = 0^4 - 2 = -2$. Точка (0; -2). Это вершина графика.
• При $x = 1$, $y = 1^4 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (1; -1).
• При $x = 2$, $y = 2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$. Точка (2; 14).

График — это кривая, похожая на параболу, но более "плоская" у вершины и круче идущая вверх. Вершина находится в точке (0; -2).

Ответ: График функции $y = x^4 - 2$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 2 единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^4$ используем график базовой функции $y = x^4$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Отражение графика $y = x^4$ симметрично относительно оси Ox. Получаем график $y = -x^4$.
2. Сжатие полученного графика к оси Ox в 2 раза (или растяжение от оси Ox с коэффициентом $\frac{1}{2}$).

Ветви итогового графика будут направлены вниз.

Найдем координаты точек для построения:

• При $x = -2$, $y = -\frac{1}{2}(-2)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 16 = -8$. Точка (-2; -8).
• При $x = -1$, $y = -\frac{1}{2}(-1)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$. Точка (-1; -0.5).
• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^4 = 0$. Точка (0; 0). Это вершина графика.
• При $x = 1$, $y = -\frac{1}{2}(1)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$. Точка (1; -0.5).
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2}(2)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 16 = -8$. Точка (2; -8).

График симметричен относительно оси Oy, вершина находится в начале координат (0; 0), ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^4$ — это график функции $y = x^4$, отраженный относительно оси Ox и сжатый к оси Ox в 2 раза.