Номер 58, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-5) > f(-3);$

2) $f(-5) < f(3);$

3) $f(-5) < f(-3);$

4) $f(-5) > f(3)?$

Для решения задачи проанализируем свойства степенной функции $y = f(x) = x^n$ в зависимости от чётности натурального показателя $n$.

• Если $n$ — чётное натуральное число ($n=2, 4, 6, \ldots$), то функция $y=x^n$ является чётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, \infty)$ — возрастает.
• Если $n$ — нечётное натуральное число ($n=1, 3, 5, \ldots$), то функция $y=x^n$ является нечётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$. Функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n > (-3)^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$ и $(-3)^n = 3^n$. Неравенство принимает вид $5^n > 3^n$. Так как $5 > 3$ и $n$ — натуральное число, это неравенство верно.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$ и $(-3)^n = -3^n$. Неравенство принимает вид $-5^n > -3^n$. Умножив на $-1$, получим $5^n < 3^n$, что неверно, так как $5 > 3$.

Другой способ рассуждения: аргументы $-5$ и $-3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. Неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ при $x_1 < x_2$ означает, что функция на этом промежутке убывает. Это свойство функции $y=x^n$ с чётным показателем $n$.

Ответ: чётным.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n < 3^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$. Неравенство принимает вид $5^n < 3^n$, что неверно.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$. Неравенство принимает вид $-5^n < 3^n$. Это неравенство верно, так как слева стоит отрицательное число, а справа — положительное.

Ответ: нечётным.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n < (-3)^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$ и $(-3)^n = 3^n$. Неравенство принимает вид $5^n < 3^n$, что неверно.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$ и $(-3)^n = -3^n$. Неравенство принимает вид $-5^n < -3^n$. Умножив на $-1$, получим $5^n > 3^n$, что верно.

Другой способ рассуждения: аргументы $-5$ и $-3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. Неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ при $x_1 < x_2$ означает, что функция на этом промежутке возрастает. Это свойство функции $y=x^n$ с нечётным показателем $n$.

Ответ: нечётным.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n > 3^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$. Неравенство принимает вид $5^n > 3^n$, что верно, так как $5>3$.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$. Неравенство принимает вид $-5^n > 3^n$. Это неравенство неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного.

Ответ: чётным.