Номер 63, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Постройте график функции:

1) $y = (x + 5)^0$;

2) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$;

3) $y = (x^2 - 8x + 12)^0$.

1) $y = (x + 5)^0$

Любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$). Выражение $0^0$ не определено. Следовательно, данная функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени, то есть выражение $(x+5)$, не равно нулю.

Найдем область определения функции (ОДЗ):
$x + 5 \neq 0$
$x \neq -5$

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$. Для всех значений $x$ из области определения значение функции равно 1, то есть $y=1$.

Графиком функции является прямая $y = 1$, из которой исключена ("выколота") точка, в которой функция не определена. Это точка с абсциссой $x = -5$. Координаты выколотой точки: $(-5; 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-5; 1)$.

2) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$

Функция определена, если выполнены два условия: выражение под корнем неотрицательно, и основание степени не равно нулю.

Найдем область определения функции (ОДЗ):
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.

Решим второе условие:
$\sqrt{x} \neq 1$
Возведя обе части в квадрат, получим: $x \neq 1$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 1$), получаем область определения: $x \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$. Для всех $x$ из этой области значение функции равно 1 ($y=1$).

Графиком функции является луч $y = 1$, который начинается в точке $(0; 1)$ (эта точка принадлежит графику, так как $x=0$ входит в ОДЗ) и идет вправо, с выколотой точкой при $x = 1$. Координаты выколотой точки: $(1; 1)$.

Ответ: График функции — это луч $y=1$, начинающийся в точке $(0; 1)$, с выколотой точкой $(1; 1)$.

3) $y = (x^2 - 8x + 12)^0$

Функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени $(x^2 - 8x + 12)$ не равно нулю.

Найдем значения $x$, при которых основание равно нулю, решив квадратное уравнение:
$x^2 - 8x + 12 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, основание степени равно нулю при $x = 2$ и $x = 6$. Эти значения необходимо исключить из области определения. Область определения функции: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$. Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1 ($y=1$).

Графиком функции является прямая $y = 1$, из которой выколоты две точки с абсциссами $x = 2$ и $x = 6$. Координаты выколотых точек: $(2; 1)$ и $(6; 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками $(2; 1)$ и $(6; 1)$.