Номер 67, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, \text{ если } x < 1, \\ x^{-3}, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции, а затем, анализируя его, найдём промежутки её возрастания и убывания.

1. Построение графика функции

Функция $f(x)$ задана двумя различными выражениями на двух промежутках: $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 1 \\ x^{-3}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построим график для каждого промежутка отдельно.

Для промежутка $x < 1$, строим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат. Найдём несколько контрольных точек:
- при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$;
- при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$;
- при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$.
На границе промежутка, в точке $x = 1$, значение функции стремится к $1^3 = 1$. Поскольку неравенство строгое ($x < 1$), точка с координатами $(1, 1)$ не будет принадлежать этой части графика (она будет "выколотой").

Для промежутка $x \ge 1$, строим график функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Найдём несколько контрольных точек:
- при $x = 1$, $y = 1^{-3} = 1$;
- при $x = 2$, $y = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Точка $(1, 1)$ принадлежит этой части графика (она будет закрашенной). Эта точка "закрывает" выколотую точку от первой части, поэтому функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x=1$. При увеличении $x$, значение $y$ стремится к нулю, поэтому ось абсцисс ($Ox$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Совместив обе части на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции $f(x)$.

2. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Проанализируем построенный график функции $f(x)$.
- На промежутке $(-\infty, 1]$ график функции поднимается вверх при движении слева направо. Это означает, что на этом промежутке функция возрастает.
- На промежутке $[1, \infty)$ график функции опускается вниз при движении слева направо. Это означает, что на этом промежутке функция убывает.
Точка $x=1$ является точкой максимума функции.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$; промежуток убывания: $[1, \infty)$.