Номер 71, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[6]{-x - 1};$

2) $y = \sqrt[8]{-x^4};$

3) $y = \sqrt[3]{x - 4};$

4) $y = \sqrt[4]{5x - x^2};$

5) $y = \sqrt[4]{-12 + 8x - x^2};$

6) $y = \sqrt[10]{\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}}.$

1) $y = \sqrt[6]{-x - 1}$

Область определения функции с корнем четной степени ($n=6$) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x - 1 \ge 0$

$-x \ge 1$

$x \le -1$

Следовательно, область определения функции — это промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

2) $y = \sqrt[8]{-x^4}$

Поскольку корень четной степени ($n=8$), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x^4 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^4 \le 0$

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Единственное значение $x$, при котором выполняется условие $x^4 \le 0$, — это $x=0$, так как в этом случае $0^4 = 0$.

Ответ: $\{0\}$.

3) $y = \sqrt[3]{x - 4}$

Корень нечетной степени ($n=3$) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому область определения функции совпадает с областью определения выражения $x-4$, то есть это все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) $y = \sqrt[4]{5x - x^2}$

Для корня четной степени ($n=4$) подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$5x - x^2 \ge 0$

$x(5 - x) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(5-x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $x(5-x)$ в получившихся интервалах. Парабола $y=5x-x^2$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0, 5]$.

Ответ: $x \in [0, 5]$.

5) $y = \sqrt[4]{-12 + 8x - x^2}$

Подкоренное выражение для корня четной степени ($n=4$) должно быть неотрицательным:

$-12 + 8x - x^2 \ge 0$

Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:

$x^2 - 8x + 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$; $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6$. Парабола $y = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями.

Решением неравенства является отрезок $[2, 6]$.

Ответ: $x \in [2, 6]$.

6) $y = \sqrt[10]{\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}}$

Область определения функции определяется двумя условиями: 1. Подкоренное выражение для корня четной степени ($n=10$) должно быть неотрицательным: $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1} \ge 0$. 2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \ne 0$.

Начнем со второго условия: $x^2 \ne 1$, откуда $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Теперь решим неравенство. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2 + 8x - 9 = (x-1)(x+9)$. Для знаменателя $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x+9)}{(x-1)(x+1)} \ge 0$.

Сократим на $(x-1)$, учитывая, что $x \ne 1$: $\frac{x+9}{x+1} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -9$ и $x = -1$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty, -9)$, $(-9, -1)$ и $(-1, +\infty)$. Выражение $\frac{x+9}{x+1}$ положительно на интервалах $(-\infty, -9)$ и $(-1, +\infty)$. В точке $x=-9$ числитель равен нулю, поэтому она входит в решение. Точка $x=-1$ исключается, так как в ней знаменатель равен нулю. Получаем множество $(-\infty, -9] \cup (-1, +\infty)$.

Также необходимо учесть первоначальное ограничение $x \ne 1$. Точка $1$ попадает в интервал $(-1, +\infty)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговая область определения: $(-\infty, -9] \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -9] \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.