Номер 69, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Найдите значение корня:

1) $\sqrt[3]{64}$;

2) $\sqrt[4]{0,0001}$;

3) $\sqrt[5]{-32}$;

4) $\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}$;

5) $-5\sqrt[5]{-0,00243}$.

1) Чтобы найти значение кубического корня из 64, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень равно 64. Мы знаем, что $4 \cdot 4 = 16$, и $16 \cdot 4 = 64$. Таким образом, $4^3 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{64} = 4$.
Ответ: 4.

2) Чтобы найти значение корня четвертой степени из 0,0001, нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 0,0001. Представим десятичную дробь 0,0001 как степень числа 0,1.
$0,1^4 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Следовательно, $\sqrt[4]{0,0001} = \sqrt[4]{(0,1)^4} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

3) Чтобы найти значение корня пятой степени из -32, нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает -32. Так как показатель корня (5) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
Мы знаем, что $2^5 = 32$. Тогда $(-2)^5 = -32$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-32} = -2$.
Ответ: -2.

4) Сначала преобразуем смешанное число под знаком корня в неправильную дробь:
$2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}$.
Теперь извлечем кубический корень из полученной дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{2\frac{10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$.
Так как $4^3 = 64$ и $3^3 = 27$, получаем:
$\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

5) Выражение состоит из множителя -5 и корня пятой степени. Сначала найдем значение корня $\sqrt[5]{-0,00243}$.
Показатель корня (5) нечетный, поэтому корень из отрицательного числа будет отрицательным.
Найдем число, пятая степень которого равна 0,00243. Мы знаем, что $3^5 = 243$. Так как подкоренное число имеет 5 знаков после запятой, искомое число будет иметь один знак после запятой.
Проверим: $(-0,3)^5 = -0,00243$.
Значит, $\sqrt[5]{-0,00243} = -0,3$.
Теперь умножим полученный результат на -5:
$-5 \cdot \sqrt[5]{-0,00243} = -5 \cdot (-0,3) = 1,5$.
Ответ: 1,5.