Номер 76, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Решите уравнение:

1) $x^9 = -16;$

2) $x^4 = \frac{1}{16};$

3) $x^4 = -81;$

4) $(x - 2)^6 = 64;$

5) $8x^4 - 64 = 0;$

6) $(x^2 - 4x)^3 = -27.$

1) Дано уравнение $x^9 = -16$.
Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень нечетной (девятой) степени из обеих частей уравнения. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
$x = \sqrt[9]{-16}$
$x = -\sqrt[9]{16}$
Ответ: $-\sqrt[9]{16}$.

2) Дано уравнение $x^4 = \frac{1}{16}$.
Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четной (четвертой) степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень четная, а правая часть положительна, уравнение будет иметь два действительных корня.
$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$
Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}} = \pm \frac{1}{2}$
Ответ: $\pm \frac{1}{2}$.

3) Дано уравнение $x^4 = -81$.
Левая часть уравнения, $x^4$, представляет собой число в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$. Правая часть уравнения - отрицательное число (-81).
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

4) Дано уравнение $(x-2)^6 = 64$.
Извлечем корень четной (шестой) степени из обеих частей. Это даст два возможных значения для выражения в скобках.
$x-2 = \pm \sqrt[6]{64}$
Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
$x-2 = \pm 2$
Рассмотрим два случая:
1. $x-2 = 2 \implies x = 2+2 \implies x=4$
2. $x-2 = -2 \implies x = -2+2 \implies x=0$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; 4.

5) Дано уравнение $8x^4 - 64 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $x^4$.
$8x^4 = 64$
$x^4 = \frac{64}{8}$
$x^4 = 8$
Теперь извлечем корень четной (четвертой) степени. Уравнение будет иметь два действительных корня.
$x = \pm \sqrt[4]{8}$
Ответ: $\pm \sqrt[4]{8}$.

6) Дано уравнение $(x^2 - 4x)^3 = -27$.
Извлечем корень нечетной (третьей) степени из обеих частей. Для нечетной степени существует только один действительный корень.
$x^2 - 4x = \sqrt[3]{-27}$
Так как $(-3)^3 = -27$, то $\sqrt[3]{-27} = -3$.
$x^2 - 4x = -3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 3. Или можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 1; 3.