Номер 70, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Вычислите:

1) $0,2 \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \sqrt[4]{625};$

2) $\sqrt[7]{-128} + 3(\sqrt[5]{9})^5 - 4\sqrt[8]{256};$

3) $4(-\sqrt[8]{6})^8 - 0,8\sqrt[4]{10000} + \left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{270}\right)^3;$

4) $4\sqrt{2\frac{113}{256}} \cdot 3\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} + (-2\sqrt{7})^2 - (-\sqrt[9]{11})^9.$

1) $0,2\sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5}\sqrt[4]{625}$

Для решения данного выражения вычислим значения корней:

$\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$0,2 \cdot 10 - \frac{3}{5} \cdot 5 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: -1

2) $\sqrt[7]{-128} + 3(\sqrt[5]{9})^5 - 4\sqrt[8]{256}$

Вычислим каждый член выражения по отдельности, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$:

1. $\sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2$.

2. $3(\sqrt[5]{9})^5 = 3 \cdot 9 = 27$.

3. $\sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^8} = 2$, следовательно $4\sqrt[8]{256} = 4 \cdot 2 = 8$.

Сложим и вычтем полученные значения:

$-2 + 27 - 8 = 25 - 8 = 17$.

Ответ: 17

3) $4(-\sqrt[8]{6})^8 - 0,84\sqrt[4]{10000} + (\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3$

Вычислим каждый член выражения по отдельности:

1. $4(-\sqrt[8]{6})^8 = 4 \cdot (\sqrt[8]{6})^8 = 4 \cdot 6 = 24$, так как показатель степени 8 — чётное число, знак минус исчезает.

2. $0,84\sqrt[4]{10000} = 0,84 \cdot \sqrt[4]{10^4} = 0,84 \cdot 10 = 8,4$.

3. $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{270})^3 = \frac{1}{27} \cdot 270 = \frac{270}{27} = 10$.

Выполним действия сложения и вычитания:

$24 - 8,4 + 10 = 15,6 + 10 = 25,6$.

Ответ: 25,6

4) $\sqrt[4]{2\frac{113}{256}} \cdot \sqrt[3]{-\frac{8}{125}} + (-2\sqrt{7})^2 - (-\sqrt[9]{11})^9$

Решим выражение по частям:

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и извлечём корень: $\sqrt[4]{2\frac{113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{2 \cdot 256 + 113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{512 + 113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{625}{256}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{5}{4}$.

2. Извлечём кубический корень из отрицательной дроби: $\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{-2}{5}$.

3. Перемножим результаты первых двух шагов: $\frac{5}{4} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{10}{20} = -0,5$.

4. Возведём в квадрат: $(-2\sqrt{7})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$.

5. Возведём в нечётную степень и учтём знак: $-(-\sqrt[9]{11})^9 = -(-11) = 11$.

Сложим все полученные значения:

$-0,5 + 28 + 11 = -0,5 + 39 = 38,5$.

Ответ: 38,5