Номер 72, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[8]{x} + 4$;

2) $y = -\sqrt[4]{x} - 3$;

3) $y = \sqrt[7]{x} + 5$.

1) Найдем область значений функции $y = \sqrt[8]{x} + 4$.

Показатель корня $n=8$ является четным числом. Это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть область определения функции: $x \ge 0$.

Арифметический корень четной степени по определению является неотрицательным числом. Следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство:

$\sqrt[8]{x} \ge 0$

Чтобы получить выражение для $y$, прибавим к обеим частям этого неравенства число 4:

$\sqrt[8]{x} + 4 \ge 0 + 4$

$y \ge 4$

Таким образом, область значений функции — это все действительные числа, большие или равные 4.

Ответ: $E(y) = [4, +\infty)$

2) Найдем область значений функции $y = -\sqrt[4]{x} - 3$.

Показатель корня $n=4$ — четное число, поэтому область определения функции: $x \ge 0$.

Для всех $x$ из области определения, значение корня неотрицательно:

$\sqrt[4]{x} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt[4]{x} \le 0$

Теперь вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$-\sqrt[4]{x} - 3 \le 0 - 3$

$y \le -3$

Следовательно, область значений функции — это все действительные числа, меньшие или равные -3.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -3]$

3) Найдем область значений функции $y = \sqrt[7]{x} + 5$.

Показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Область значений функции $g(x) = \sqrt[7]{x}$ также является множеством всех действительных чисел. То есть, $\sqrt[7]{x}$ может принимать любое значение от $-\infty$ до $+\infty$.

Функция $y$ представляет собой сумму функции $\sqrt[7]{x}$ и константы 5. Когда к выражению, которое может принимать любое действительное значение, прибавляется константа, итоговое выражение также может принимать любое действительное значение. График функции $y = \sqrt[7]{x} + 5$ получается из графика $g(x) = \sqrt[7]{x}$ сдвигом на 5 единиц вверх, что не влияет на область значений, если она уже была $(-\infty, +\infty)$.

Таким образом, область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$