Номер 78, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{12}$

2) $\sqrt[4]{50}$

3) $-\sqrt[5]{30}$

1) $\sqrt[3]{12}$

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{12}$, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{12} < n+1$.

Возведем все части этого неравенства в третью степень. Так как функция $y=x^3$ является монотонно возрастающей, знаки неравенства сохранятся: $n^3 < 12 < (n+1)^3$.

Теперь подберем такие целые числа, кубы которых будут "окружать" число 12.

Рассмотрим кубы первых нескольких натуральных чисел:

$1^3 = 1$

$2^3 = 8$

$3^3 = 27$

Из этого видно, что $8 < 12 < 27$, следовательно, $2^3 < 12 < 3^3$.

Извлекая кубический корень из всех частей этого неравенства, мы возвращаемся к исходному: $\sqrt[3]{2^3} < \sqrt[3]{12} < \sqrt[3]{3^3}$, что равносильно $2 < \sqrt[3]{12} < 3$.

Таким образом, число $\sqrt[3]{12}$ находится на координатной прямой между числами 2 и 3.

Ответ: между 2 и 3.

2) $\sqrt[4]{50}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt[4]{50} < n+1$.

Возводим неравенство в четвертую степень: $n^4 < 50 < (n+1)^4$.

Рассмотрим четвертые степени целых чисел:

$1^4 = 1$

$2^4 = 16$

$3^4 = 81$

Мы видим, что $16 < 50 < 81$, что означает $2^4 < 50 < 3^4$.

Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[4]{2^4} < \sqrt[4]{50} < \sqrt[4]{3^4}$, что равносильно $2 < \sqrt[4]{50} < 3$.

Следовательно, число $\sqrt[4]{50}$ находится между целыми числами 2 и 3.

Ответ: между 2 и 3.

3) $-\sqrt[5]{30}$

Для отрицательного числа сначала найдем, между какими целыми числами находится его модуль, то есть $\sqrt[5]{30}$. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt[5]{30} < n+1$.

Возводим неравенство в пятую степень: $n^5 < 30 < (n+1)^5$.

Рассмотрим пятые степени целых чисел:

$1^5 = 1$

$2^5 = 32$

Получаем, что $1 < 30 < 32$, а значит $1^5 < 30 < 2^5$.

Извлекая корень пятой степени, получаем: $\sqrt[5]{1^5} < \sqrt[5]{30} < \sqrt[5]{2^5}$, что равносильно $1 < \sqrt[5]{30} < 2$.

Теперь, когда мы знаем интервал для положительного числа, найдем интервал для отрицательного. Умножим все части неравенства $1 < \sqrt[5]{30} < 2$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 > -\sqrt[5]{30} > -2$.

Запишем это неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-2 < -\sqrt[5]{30} < -1$.

Таким образом, число $-\sqrt[5]{30}$ находится между целыми числами -2 и -1.

Ответ: между -2 и -1.