Номер 84, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Решите неравенство:

1) $\sqrt[6]{x+3} > 2;$

2) $\sqrt[3]{2x-3} \le 5;$

3) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2;$

4) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}.$

1) $\sqrt[6]{x+3} > 2$

Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x+3 \ge 0$
$x \ge -3$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в 6-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[6]{x+3})^6 > 2^6$
$x+3 > 64$
$x > 61$
Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -3$), получаем окончательный результат.
Ответ: $x \in (61; +\infty)$.

2) $\sqrt[3]{2x-3} \le 5$

Поскольку корень нечетной степени, подкоренное выражение может быть любым действительным числом. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части неравенства в 3-ю степень. Знак неравенства при этом не меняется:
$(\sqrt[3]{2x-3})^3 \le 5^3$
$2x-3 \le 125$
$2x \le 128$
$x \le 64$
Ответ: $x \in (-\infty; 64]$.

3) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2$

Поскольку корень четной степени, найдем ОДЗ:
$3x+1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{3}$
Обе части неравенства неотрицательны. Возведем их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{3x+1})^4 \le 2^4$
$3x+1 \le 16$
$3x \le 15$
$x \le 5$
Теперь найдем пересечение полученного решения и ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x \le 5 \end{cases}$
Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; 5]$.

4) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}$

Так как корни четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} x^2-6 \ge 0 \\ 5x \ge 0 \end{cases}$
Из второго неравенства: $x \ge 0$.
Первое неравенство $x^2 \ge 6$ равносильно $x \in (-\infty; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [\sqrt{6}; +\infty)$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, а функция $y=\sqrt[10]{t}$ является возрастающей, можно возвести обе части в 10-ю степень, при этом знак неравенства сохранится:
$x^2-6 > 5x$
$x^2-5x-6 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Решением неравенства $x^2-5x-6 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [\sqrt{6}; +\infty)$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то пересечением будет интервал $(6; +\infty)$.
Ответ: $x \in (6; +\infty)$.