Номер 86, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{27 \cdot 64}$;

2) $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 625}$;

3) $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032}$;

4) $\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9}$;

5) $\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}}$;

6) $\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 2^{12}}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{27 \cdot 64}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{27 \cdot 64} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{64}$
Теперь вычислим каждый корень по отдельности:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
Перемножим полученные значения:
$3 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 625}$ применим свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{0,0081 \cdot 625} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{625}$
Вычислим каждый корень:
$\sqrt[4]{0,0081} = 0,3$, так как $0,3^4 = 0,0081$.
$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
Перемножим результаты:
$0,3 \cdot 5 = 1,5$.
Ответ: 1,5.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032}$ используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{0,00032}$
Найдем значения корней:
$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
$\sqrt[5]{0,00032} = 0,2$, так как $0,2^5 = 0,00032$.
Перемножим полученные значения:
$3 \cdot 0,2 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9}$ применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9} = \sqrt[3]{4^6} \cdot \sqrt[3]{3^9}$
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2 = 16$.
$\sqrt[3]{3^9} = 3^{\frac{9}{3}} = 3^3 = 27$.
Найдем произведение:
$16 \cdot 27 = 432$.
Ответ: 432.

5) Для вычисления значения выражения $\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}}$ воспользуемся свойствами корня из произведения и корня из степени.
$\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}} = \sqrt[7]{0,3^7} \cdot \sqrt[7]{5^{14}}$
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[7]{0,3^7} = 0,3^{\frac{7}{7}} = 0,3^1 = 0,3$.
$\sqrt[7]{5^{14}} = 5^{\frac{14}{7}} = 5^2 = 25$.
Перемножим полученные результаты:
$0,3 \cdot 25 = 7,5$.
Ответ: 7,5.

6) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 2^{12}}}$ применим свойства корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, корня из произведения и корня из степени.
$\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 2^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{3^8 \cdot 7^4}}{\sqrt[4]{5^4 \cdot 2^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{3^8} \cdot \sqrt[4]{7^4}}{\sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{2^{12}}}$
Теперь вычислим значение каждого корня:
$\sqrt[4]{3^8} = 3^{\frac{8}{4}} = 3^2 = 9$.
$\sqrt[4]{7^4} = 7^{\frac{4}{4}} = 7^1 = 7$.
$\sqrt[4]{5^4} = 5^{\frac{4}{4}} = 5^1 = 5$.
$\sqrt[4]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{4}} = 2^3 = 8$.
Подставим значения обратно в дробь:
$\frac{9 \cdot 7}{5 \cdot 8} = \frac{63}{40} = 1,575$.
Ответ: $\frac{63}{40}$.