Номер 87, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$;

2) $\sqrt[6]{10000} \cdot \sqrt[6]{100}$;

3) $\sqrt[3]{0,108} \cdot \sqrt[3]{2}$;

4) $\sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6}$;

5) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}}$;

6) $\frac{\sqrt[3]{5^8 \cdot 7^{10}}}{\sqrt[3]{5^2 \cdot 7^{16}}}$.

1) Воспользуемся свойством корней: произведение корней одной степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32} $
Так как $ 2^5 = 32 $, то $ \sqrt[5]{32} = 2 $.
Ответ: 2

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[6]{10000} \cdot \sqrt[6]{100} = \sqrt[6]{10000 \cdot 100} = \sqrt[6]{1000000} $
Представим $ 1000000 $ как степень числа $ 10 $: $ 1000000 = 10^6 $.
$ \sqrt[6]{10^6} = 10 $
Ответ: 10

3) Применяем свойство произведения корней: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[3]{0,108} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{0,108 \cdot 2} = \sqrt[3]{0,216} $
Поскольку $ 0.6^3 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 = 0.216 $, то $ \sqrt[3]{0,216} = 0,6 $.
Ответ: 0,6

4) Используем свойство произведения корней: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $.
$ \sqrt[8]{3^5 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[8]{3^3 \cdot 5^6} = \sqrt[8]{(3^5 \cdot 5^2) \cdot (3^3 \cdot 5^6)} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ \sqrt[8]{(3^5 \cdot 3^3) \cdot (5^2 \cdot 5^6)} = \sqrt[8]{3^{5+3} \cdot 5^{2+6}} = \sqrt[8]{3^8 \cdot 5^8} $
Далее применим свойство $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $:
$ \sqrt[8]{(3 \cdot 5)^8} = \sqrt[8]{15^8} = 15 $
Ответ: 15

5) Воспользуемся свойством частного корней: частное корней одной степени равно корню той же степени из частного подкоренных выражений $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.
$ \frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}} = \sqrt[5]{\frac{96}{729}} $
Разложим числа 96 и 729 на простые множители, чтобы сократить дробь:
$ 96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3 $
$ 729 = 3^6 $
$ \sqrt[5]{\frac{2^5 \cdot 3}{3^6}} = \sqrt[5]{\frac{2^5}{3^5}} $
Используем свойство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $:
$ \sqrt[5]{(\frac{2}{3})^5} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $

6) Применяем свойство частного корней: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.
$ \frac{\sqrt[3]{5^8 \cdot 7^{10}}}{\sqrt[3]{5^2 \cdot 7^{16}}} = \sqrt[3]{\frac{5^8 \cdot 7^{10}}{5^2 \cdot 7^{16}}} $
Упростим выражение под корнем, используя свойство частного степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \sqrt[3]{\frac{5^8}{5^2} \cdot \frac{7^{10}}{7^{16}}} = \sqrt[3]{5^{8-2} \cdot 7^{10-16}} = \sqrt[3]{5^6 \cdot 7^{-6}} = \sqrt[3]{\frac{5^6}{7^6}} $
Используем свойство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $:
$ \sqrt[3]{(\frac{5}{7})^6} $
Теперь воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ (\frac{5}{7})^{\frac{6}{3}} = (\frac{5}{7})^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49} $
Ответ: $ \frac{25}{49} $