Номер 94, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Упростите выражение:

1) $3\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{-135} - 2\sqrt[3]{320};$

2) $2\sqrt[4]{48m} - 4\sqrt[4]{1250m} - 4\sqrt[4]{768m} + 3\sqrt[4]{32m}.$

1) $3\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{-135} - 2\sqrt[3]{320}$

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

1. Разложим число 40 на множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$.

2. Разложим число -135: $-135 = -27 \cdot 5 = (-3)^3 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-135} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 5} = -3\sqrt[3]{5}$.

3. Разложим число 320: $320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$3\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{-135} - 2\sqrt[3]{320} = 3 \cdot (2\sqrt[3]{5}) - (-3\sqrt[3]{5}) - 2 \cdot (4\sqrt[3]{5})$

Выполним умножение и упростим знаки:

$6\sqrt[3]{5} + 3\sqrt[3]{5} - 8\sqrt[3]{5}$

Все слагаемые содержат одинаковый радикал $\sqrt[3]{5}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(6 + 3 - 8)\sqrt[3]{5} = 1 \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}$.

2) $2\sqrt[4]{48m} - 4\sqrt[4]{1250m} - 4\sqrt[4]{768m} + 3\sqrt[4]{32m}$

Для упрощения вынесем множители из-под знака корня четвертой степени. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, один из которых является точной четвертой степенью.

1. Разложим 48: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[4]{48m} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3m} = 2\sqrt[4]{3m}$.

2. Разложим 1250: $1250 = 625 \cdot 2 = 5^4 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt[4]{1250m} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2m} = 5\sqrt[4]{2m}$.

3. Разложим 768: $768 = 256 \cdot 3 = 4^4 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[4]{768m} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 3m} = 4\sqrt[4]{3m}$.

4. Разложим 32: $32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt[4]{32m} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2m} = 2\sqrt[4]{2m}$.

Подставим упрощенные корни в исходное выражение:

$2 \cdot (2\sqrt[4]{3m}) - 4 \cdot (5\sqrt[4]{2m}) - 4 \cdot (4\sqrt[4]{3m}) + 3 \cdot (2\sqrt[4]{2m})$

Выполним умножение:

$4\sqrt[4]{3m} - 20\sqrt[4]{2m} - 16\sqrt[4]{3m} + 6\sqrt[4]{2m}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми радикалами):

$(4\sqrt[4]{3m} - 16\sqrt[4]{3m}) + (-20\sqrt[4]{2m} + 6\sqrt[4]{2m})$

$(4-16)\sqrt[4]{3m} + (-20+6)\sqrt[4]{2m} = -12\sqrt[4]{3m} - 14\sqrt[4]{2m}$.

Ответ: $-12\sqrt[4]{3m} - 14\sqrt[4]{2m}$.