Номер 96, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Представьте в виде корня выражение:

1) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3};$

2) $\sqrt[6]{m} \cdot \sqrt[9]{n};$

3) $\frac{\sqrt[3]{m^2}}{\sqrt[9]{n^4}};$

4) $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}};$

5) $\sqrt[4]{m\sqrt[7]{m}} \cdot \sqrt[7]{m^4}.$

1) Чтобы представить произведение корней с разными показателями в виде одного корня, необходимо привести их к общему показателю. Для $\sqrt{3}$ показатель корня равен 2, для $\sqrt[3]{3}$ — 3. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6. Приведем каждый корень к показателю 6, домножив показатель корня и степень подкоренного выражения на одно и то же число.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$

Теперь, когда показатели корней одинаковы, можно перемножить подкоренные выражения:

$\sqrt[6]{27} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{27 \cdot 9} = \sqrt[6]{243}$

Ответ: $\sqrt[6]{243}$

2) Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 6 и 9. Наименьшее общее кратное для 6 и 9 равно 18. Приведем каждый корень к показателю 18.

$\sqrt[6]{m} = \sqrt[6 \cdot 3]{m^{1 \cdot 3}} = \sqrt[18]{m^3}$

$\sqrt[9]{n} = \sqrt[9 \cdot 2]{n^{1 \cdot 2}} = \sqrt[18]{n^2}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\sqrt[18]{m^3} \cdot \sqrt[18]{n^2} = \sqrt[18]{m^3 n^2}$

Ответ: $\sqrt[18]{m^3 n^2}$

3) Чтобы представить частное в виде одного корня, приведем корни в числителе и знаменателе к общему показателю. Показатели корней равны 3 и 9. Наименьшее общее кратное для 3 и 9 равно 9. Приведем корень в числителе к показателю 9.

$\sqrt[3]{m^2} = \sqrt[3 \cdot 3]{(m^2)^3} = \sqrt[9]{m^{2 \cdot 3}} = \sqrt[9]{m^6}$

Знаменатель уже имеет показатель 9: $\sqrt[9]{n^4}$. Теперь можно записать все под одним корнем:

$\frac{\sqrt[9]{m^6}}{\sqrt[9]{n^4}} = \sqrt[9]{\frac{m^6}{n^4}}$

Ответ: $\sqrt[9]{\frac{m^6}{n^4}}$

4) Сначала упростим знаменатель, приведя корни к общему показателю. Для $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{2}$ наименьшее общее кратное показателей 2 и 3 равно 6.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{3^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{27} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{27 \cdot 4} = \sqrt[6]{108}$

Исходное выражение теперь имеет вид $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[6]{108}}$.

Приведем числитель и знаменатель к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[12]{216}$

$\sqrt[6]{108} = \sqrt[6 \cdot 2]{108^2} = \sqrt[12]{11664}$

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt[12]{216}}{\sqrt[12]{11664}} = \sqrt[12]{\frac{216}{11664}} = \sqrt[12]{\frac{1}{54}}$

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{54}}$

5) Упростим первый множитель $\sqrt[4]{m \sqrt[7]{m}}$. Для этого внесем $m$ под внутренний корень седьмой степени.

$\sqrt[4]{m \sqrt[7]{m}} = \sqrt[4]{\sqrt[7]{m^7} \cdot \sqrt[7]{m}} = \sqrt[4]{\sqrt[7]{m^7 \cdot m}} = \sqrt[4]{\sqrt[7]{m^8}}$

По свойству "корень из корня" ($\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$), перемножим показатели корней:

$\sqrt[4 \cdot 7]{m^8} = \sqrt[28]{m^8}$

Сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на их общий делитель 4:

$\sqrt[28/4]{m^{8/4}} = \sqrt[7]{m^2}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель $\sqrt[7]{m^4}$:

$\sqrt[7]{m^2} \cdot \sqrt[7]{m^4} = \sqrt[7]{m^2 \cdot m^4} = \sqrt[7]{m^{2+4}} = \sqrt[7]{m^6}$

Ответ: $\sqrt[7]{m^6}$