Номер 99, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[4]{a^4} $, если $a \ge 0;$

2) $ \sqrt[6]{b^6} $, если $b \le 0;$

3) $ \sqrt[5]{x^5} ;$

4) $ \sqrt[3]{343m^6n^9} ;$

5) $ \sqrt[4]{16x^8y^4z^{12}} $, если $y \ge 0, z \le 0;$

6) $ 3,5x\sqrt[8]{256x^{24}} $, если $x \le 0;$

7) $ \frac{\sqrt[10]{a^{10}b^{20}c^{30}}}{a^2b^3c^4} $, если $a < 0, c < 0;$

8) $ -0,2a^3 \cdot \sqrt[4]{625a^{16}b^{36}} $, если $b \le 0.$

1) Для корня четной степени справедливо тождество $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Применяя это свойство к выражению $\sqrt[4]{a^4}$, получаем $|a|$. По условию дано, что $a \ge 0$, следовательно, модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|a| = a$. Ответ: $a$.

2) Как и в предыдущем примере, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Для выражения $\sqrt[6]{b^6}$ получаем $|b|$. По условию дано, что $b \le 0$, следовательно, модуль неположительного числа равен противоположному ему числу: $|b| = -b$. Ответ: $-b$.

3) Для корня нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, $\sqrt[5]{x^5} = x$. Ответ: $x$.

4) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \cdot \sqrt[n]{z}$. $\sqrt[3]{343m^6n^9} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{m^6} \cdot \sqrt[3]{n^9}$. Вычисляем каждый множитель: $\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$. $\sqrt[3]{m^6} = \sqrt[3]{(m^2)^3} = m^2$. $\sqrt[3]{n^9} = \sqrt[3]{(n^3)^3} = n^3$. Перемножаем полученные результаты: $7 \cdot m^2 \cdot n^3 = 7m^2n^3$. Ответ: $7m^2n^3$.

5) Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем корень четвертой степени из каждого: $\sqrt[4]{16x^8y^4z^{12}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 \cdot (z^3)^4} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{(z^3)^4}$. При извлечении корня четной степени используем модуль: $\sqrt[4]{2^4} = 2$. $\sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2$ (так как $x^2$ всегда неотрицательно). $\sqrt[4]{y^4} = |y|$. По условию $y \ge 0$, значит $|y|=y$. $\sqrt[4]{(z^3)^4} = |z^3|$. По условию $z \le 0$, значит $z^3 \le 0$, и $|z^3| = -z^3$. Собираем все вместе: $2 \cdot x^2 \cdot y \cdot (-z^3) = -2x^2yz^3$. Ответ: $-2x^2yz^3$.

6) Сначала упростим корень восьмой степени: $\sqrt[8]{256x^{24}} = \sqrt[8]{2^8 \cdot (x^3)^8} = \sqrt[8]{2^8} \cdot \sqrt[8]{(x^3)^8} = 2 \cdot |x^3|$. По условию $x \le 0$, следовательно $x^3 \le 0$, и $|x^3| = -x^3$. Таким образом, $\sqrt[8]{256x^{24}} = 2(-x^3) = -2x^3$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $3,5x \cdot (-2x^3) = -7x^{1+3} = -7x^4$. Ответ: $-7x^4$.

7) Сначала упростим числитель дроби: $\sqrt[10]{a^{10}b^{20}c^{30}} = \sqrt[10]{a^{10} \cdot (b^2)^{10} \cdot (c^3)^{10}} = |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3|$. Раскроем модули с учетом условий $a < 0$ и $c < 0$: $|a| = -a$. $|b^2| = b^2$ (так как $b^2$ всегда неотрицательно). $|c^3| = -c^3$ (так как при $c < 0$, $c^3 < 0$). Числитель равен $(-a) \cdot b^2 \cdot (-c^3) = ab^2c^3$. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{ab^2c^3}{a^2b^3c^4} = a^{1-2}b^{2-3}c^{3-4} = a^{-1}b^{-1}c^{-1} = \frac{1}{abc}$. Ответ: $\frac{1}{abc}$.

8) Упростим выражение под корнем четвертой степени: $\sqrt[4]{625a^{16}b^{36}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (a^4)^4 \cdot (b^9)^4} = |5| \cdot |a^4| \cdot |b^9|$. Раскроем модули: $|5| = 5$. $|a^4| = a^4$ (так как $a^4$ всегда неотрицательно). $|b^9|$. По условию $b \le 0$, значит $b^9 \le 0$, следовательно $|b^9| = -b^9$. Выражение под корнем равно $5a^4(-b^9) = -5a^4b^9$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,2a^3 \cdot (-5a^4b^9) = (-0,2 \cdot -5) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot b^9 = 1 \cdot a^{3+4} \cdot b^9 = a^7b^9$. Ответ: $a^7b^9$.