Номер 105, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}$;

2) $\frac{\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{a} - 1}{\sqrt[6]{a} + 1}$;

4) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[4]{a}}{a - \sqrt[4]{a^3}}$;

5) $\frac{\sqrt[6]{9a} - \sqrt[6]{3a^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{3}}$;

6) $\frac{x + 8}{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$;

7) $\frac{x - \sqrt{6x + 6}}{x\sqrt{x} + 6\sqrt{6}}$.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y} $, представим знаменатель в виде разности квадратов.
Так как $ x = (\sqrt{x})^2 $ и $ y = (\sqrt{y})^2 $, то знаменатель можно записать как $ x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 $.
Используя формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $, получаем:
$ x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Сокращаем общий множитель $ (\sqrt{x}-\sqrt{y}) $ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $.
Заметим, что $ \sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2 $ и $ \sqrt[4]{y} = (\sqrt[8]{y})^2 $.
Следовательно, знаменатель является разностью квадратов:
$ \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y} = (\sqrt[8]{x})^2 - (\sqrt[8]{y})^2 = (\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y})(\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}) $.
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y}}{(\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y})(\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y})} $.
Сократив общий множитель $ (\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y}) $, получаем:
$ \frac{1}{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}} $.

3) В дроби $ \frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[6]{a}+1} $ представим числитель через корень шестой степени.
Так как $ \sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2 $, числитель можно записать как $ (\sqrt[6]{a})^2 - 1^2 $.
Применим формулу разности квадратов:
$ \sqrt[3]{a}-1 = (\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)}{\sqrt[6]{a}+1} $.
Сокращаем общий множитель $ (\sqrt[6]{a}+1) $:
$ \sqrt[6]{a}-1 $.
Ответ: $ \sqrt[6]{a}-1 $.

4) Для сокращения дроби $ \frac{\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}}{a-\sqrt[4]{a^3}} $ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $ \sqrt{a}-\sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^2 - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}-1) $.
В знаменателе: $ a-\sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^4 - (\sqrt[4]{a})^3 = \sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a}-1) $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}-1)}{\sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a}-1)} $.
Сократим общий множитель $ (\sqrt[4]{a}-1) $:
$ \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{a}{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{a^2}} = \sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a}} $.

5) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt[6]{9a}-\sqrt[6]{3a^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{3}} $.
Вынесем общий множитель $ \sqrt[6]{3a} $ в числителе:
$ \sqrt[6]{9a}-\sqrt[6]{3a^2} = \sqrt[6]{3 \cdot 3a} - \sqrt[6]{a \cdot 3a} = \sqrt[6]{3}\sqrt[6]{3a} - \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{3a} = \sqrt[6]{3a}(\sqrt[6]{3}-\sqrt[6]{a}) $.
Представим знаменатель как разность квадратов:
$ \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{3} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{3})^2 = (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}) $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{\sqrt[6]{3a}(\sqrt[6]{3}-\sqrt[6]{a})}{(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3})} $.
Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе: $ \sqrt[6]{3}-\sqrt[6]{a} = -(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3}) $.
$ \frac{-\sqrt[6]{3a}(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})}{(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3})} $.
Сократим общий множитель $ (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3}) $:
$ \frac{-\sqrt[6]{3a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt[6]{3a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}} $.

6) Рассмотрим дробь $ \frac{x+8}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4} $.
Числитель $ x+8 $ можно представить как сумму кубов: $ x+8 = (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3 $.
Используем формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3 = (\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 2^2) = (\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4} $.
Сокращаем общий множитель $ (\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4) $.
Получаем: $ \sqrt[3]{x}+2 $.
Ответ: $ \sqrt[3]{x}+2 $.

7) Рассмотрим дробь $ \frac{x-\sqrt{6x}+6}{x\sqrt{x}+6\sqrt{6}} $.
Знаменатель $ x\sqrt{x}+6\sqrt{6} $ можно представить как сумму кубов.
$ x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 $ и $ 6\sqrt{6} = (\sqrt{6})^3 $.
Тогда знаменатель равен $ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{6})^3 $.
Применим формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{6})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{6})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{6})(x-\sqrt{6x}+6) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{x-\sqrt{6x}+6}{(\sqrt{x}+\sqrt{6})(x-\sqrt{6x}+6)} $.
Сокращаем общий множитель $ (x-\sqrt{6x}+6) $.
Получаем: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{6}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{6}} $.