Номер 104, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt[3]{3}};$

2) $\frac{14}{\sqrt[4]{8}};$

3) $\frac{24}{\sqrt[5]{8}};$

4) $\frac{m^3}{\sqrt[7]{m^4}}.$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{6}{\sqrt[3]{3}} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе исчез корень. В данном случае, чтобы подкоренное выражение стало кубом, нужно домножить на $ \sqrt[3]{3^2} $.

$ \frac{6}{\sqrt[3]{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{6\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6\sqrt[3]{9}}{3} = 2\sqrt[3]{9} $.

Ответ: $ 2\sqrt[3]{9} $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{14}{\sqrt[4]{8}} $, сначала представим $ 8 $ как $ 2^3 $. Получим $ \frac{14}{\sqrt[4]{2^3}} $. Чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало четвертой степенью, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{2^{4-3}} = \sqrt[4]{2} $.

$ \frac{14}{\sqrt[4]{8}} = \frac{14}{\sqrt[4]{2^3}} = \frac{14 \cdot \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^3} \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{14\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{14\sqrt[4]{2}}{2} = 7\sqrt[4]{2} $.

Ответ: $ 7\sqrt[4]{2} $.

3) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{24}{\sqrt[5]{8}} $, представим $ 8 $ как $ 2^3 $. Получим $ \frac{24}{\sqrt[5]{2^3}} $. Чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало пятой степенью, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-3}} = \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $.

$ \frac{24}{\sqrt[5]{8}} = \frac{24}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{24 \cdot \sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{24\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{24\sqrt[5]{4}}{2} = 12\sqrt[5]{4} $.

Ответ: $ 12\sqrt[5]{4} $.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{m^3}{\sqrt[7]{m^4}} $ (при $ m > 0 $), нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{m^{7-4}} = \sqrt[7]{m^3} $, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало седьмой степенью.

$ \frac{m^3}{\sqrt[7]{m^4}} = \frac{m^3 \cdot \sqrt[7]{m^3}}{\sqrt[7]{m^4} \cdot \sqrt[7]{m^3}} = \frac{m^3\sqrt[7]{m^3}}{\sqrt[7]{m^{4+3}}} = \frac{m^3\sqrt[7]{m^3}}{\sqrt[7]{m^7}} = \frac{m^3\sqrt[7]{m^3}}{m} = m^2\sqrt[7]{m^3} $.

Ответ: $ m^2\sqrt[7]{m^3} $.