Номер 108, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{6};$

2) $m\sqrt{-m^3};$

3) $m^4\sqrt[4]{m^5};$

4) $3y^5\sqrt[5]{2y^2};$

5) $a^9\sqrt{6a};$

6) $2b^4\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}};$

7) $c^8\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0;$

8) $xy^6\sqrt[6]{xy^4}$, если $y > 0;$

9) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0.$

1) $m\sqrt{6}$

Чтобы внести множитель $m$ под знак квадратного корня (корень четной степени), нужно рассмотреть два случая, так как знак $m$ неизвестен.

Случай 1: $m \ge 0$. В этом случае множитель вносится под корень возведением в квадрат:
$m\sqrt{6} = \sqrt{m^2 \cdot 6} = \sqrt{6m^2}$.

Случай 2: $m < 0$. В этом случае $m$ можно представить как $m = -|m|$. Перед корнем остается знак "минус", а под корень вносится положительное число $|m|$:
$m\sqrt{6} = -|m|\sqrt{6} = -\sqrt{|m|^2 \cdot 6} = -\sqrt{m^2 \cdot 6} = -\sqrt{6m^2}$.

Ответ: $ \sqrt{6m^2} $, если $m \ge 0$; $-\sqrt{6m^2} $, если $m < 0$.

2) $m\sqrt{-m^3}$

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $-m^3 \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $m \le 0$.
Поскольку $m \le 0$ и корень четной степени, при внесении множителя $m$ под корень перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится $|m| = -m$:
$m\sqrt{-m^3} = -(-m)\sqrt{-m^3} = -\sqrt{(-m)^2 \cdot (-m^3)} = -\sqrt{m^2 \cdot (-m^3)} = -\sqrt{-m^5}$.

Ответ: $-\sqrt{-m^5}$.

3) $m\sqrt[4]{m^5}$

Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $m^5 \ge 0$, что выполняется при $m \ge 0$.
Так как $m \ge 0$ и корень четной степени, множитель $m$ вносится под знак корня возведением в четвертую степень:
$m\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m^5} = \sqrt[4]{m^{4+5}} = \sqrt[4]{m^9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{m^9}$.

4) $3y\sqrt[5]{2y^2}$

Корень пятой степени является корнем нечетной степени, поэтому множитель $3y$ можно вносить под знак корня независимо от его знака, возводя в пятую степень:
$3y\sqrt[5]{2y^2} = \sqrt[5]{(3y)^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{3^5 \cdot y^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{243 \cdot 2 \cdot y^{5+2}} = \sqrt[5]{486y^7}$.

Ответ: $\sqrt[5]{486y^7}$.

5) $a\sqrt[9]{6a}$

Корень девятой степени — нечетный, поэтому множитель $a$ вносится под корень возведением в девятую степень без учета знака:
$a\sqrt[9]{6a} = \sqrt[9]{a^9 \cdot 6a} = \sqrt[9]{6a^{10}}$.

Ответ: $\sqrt[9]{6a^{10}}$.

6) $2b^4\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}}$

Корень третьей степени — нечетный. Множитель $2b^4$ вносим под знак корня, возведя его в третью степень. Заметим, что $b \neq 0$.
$2b^4\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}} = \sqrt[3]{(2b^4)^3 \cdot \frac{3}{4b^2}} = \sqrt[3]{8b^{12} \cdot \frac{3}{4b^2}} = \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 3 \cdot b^{12}}{4b^2}} = \sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot b^{12-2}} = \sqrt[3]{6b^{10}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6b^{10}}$.

7) $c\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0$

Корень восьмой степени — четный. По условию, множитель $c$ является неположительным ($c \le 0$). При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится модуль этого множителя:
$c\sqrt[8]{c^6} = -(-c)\sqrt[8]{c^6} = -\sqrt[8]{(-c)^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^{8+6}} = -\sqrt[8]{c^{14}}$.

Ответ: $-\sqrt[8]{c^{14}}$.

8) $xy\sqrt[6]{xy^4}$, если $y > 0$

Корень шестой степени — четный. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $xy^4 \ge 0$. Так как по условию $y > 0$, то $y^4 > 0$, следовательно, $x \ge 0$.
Поскольку $x \ge 0$ и $y > 0$, то множитель $xy$ является неотрицательным ($xy \ge 0$). Значит, его можно внести под знак корня, возведя в шестую степень:
$xy\sqrt[6]{xy^4} = \sqrt[6]{(xy)^6 \cdot xy^4} = \sqrt[6]{x^6 y^6 \cdot xy^4} = \sqrt[6]{x^{6+1}y^{6+4}} = \sqrt[6]{x^7y^{10}}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x^7y^{10}}$.

9) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0$

Корень десятой степени — четный. Определим знак множителя $x^3y^7$.
По условию $x < 0$, значит $x^3 < 0$.
По условию $y > 0$, значит $y^7 > 0$.
Следовательно, произведение $x^3y^7$ отрицательно.
При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится модуль этого множителя:
$x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -(-x^3y^7)\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{(-x^3y^7)^{10} \cdot x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{x^{30}y^{70} \cdot x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{x^{30+8}y^{70+12}} = -\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

Ответ: $-\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.