Номер 109, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Упростите выражение:

1) $(\sqrt[5]{a}-1)(\sqrt[5]{a}+1)-(\sqrt[5]{a}-2)^2;$

2) $\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-3}-\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-9};$

3) $\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[8]{xy}+\sqrt[4]{y}}+\frac{2\sqrt[8]{x}}{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}};$

4) $\left(\frac{\sqrt[4]{a}+4}{\sqrt[4]{a}-4}-\frac{\sqrt[4]{a}-4}{\sqrt[4]{a}+4}\right) \cdot \frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}};$

5) $\frac{2\sqrt[8]{m}}{\sqrt[8]{m}-2}+\frac{\sqrt[8]{m}+7}{8-4\sqrt[8]{m}} \cdot \frac{32}{7\sqrt[8]{m}+\sqrt[4]{m}}.$

1) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для первого произведения и формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для второго члена.
$(\sqrt[5]{a} - 1)(\sqrt[5]{a} + 1) - (\sqrt[5]{a} - 2)^2 = ((\sqrt[5]{a})^2 - 1^2) - ((\sqrt[5]{a})^2 - 2 \cdot \sqrt[5]{a} \cdot 2 + 2^2) =$
$= (\sqrt[5]{a^2} - 1) - (\sqrt[5]{a^2} - 4\sqrt[5]{a} + 4)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt[5]{a^2} - 1 - \sqrt[5]{a^2} + 4\sqrt[5]{a} - 4 = (\sqrt[5]{a^2} - \sqrt[5]{a^2}) + 4\sqrt[5]{a} - 1 - 4 = 4\sqrt[5]{a} - 5$.
Ответ: $4\sqrt[5]{a} - 5$.

2) Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену $y = \sqrt[6]{x}$. Выражение примет вид:
$\frac{y}{y - 3} - \frac{y^2}{y^2 - 9}$.
Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)(y+3)$:
$\frac{y(y+3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{y^2}{(y-3)(y+3)} = \frac{y(y+3) - y^2}{(y-3)(y+3)}$.
Упростим числитель:
$\frac{y^2 + 3y - y^2}{y^2 - 9} = \frac{3y}{y^2 - 9}$.
Выполним обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$:
$\frac{3\sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x})^2 - 9} = \frac{3\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 9}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 9}$.

3) Выполним замену: $a = \sqrt[8]{x}$ и $b = \sqrt[8]{y}$. Тогда $\sqrt[4]{x} = a^2$, $\sqrt[4]{y} = b^2$, а $\sqrt[8]{xy} = ab$.
Исходное выражение примет вид:
$\frac{a^2 + b^2}{ab + b^2} + \frac{2a}{a + b}$.
В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $b$:
$\frac{a^2 + b^2}{b(a + b)} + \frac{2a}{a + b}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $b(a+b)$:
$\frac{a^2 + b^2}{b(a + b)} + \frac{2ab}{b(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{b(a+b)}$.
Числитель является полным квадратом суммы $(a+b)^2$:
$\frac{(a+b)^2}{b(a+b)}$.
Сократим дробь на $(a+b)$:
$\frac{a+b}{b}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{y}}{\sqrt[8]{y}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{y}}{\sqrt[8]{y}}$.

4) Сначала выполним действие в скобках. Пусть $x = \sqrt[4]{a}$.
$\frac{x + 4}{x - 4} - \frac{x - 4}{x + 4}$.
Приведем к общему знаменателю $(x-4)(x+4) = x^2 - 16$:
$\frac{(x+4)^2 - (x-4)^2}{x^2 - 16} = \frac{(x^2+8x+16) - (x^2-8x+16)}{x^2 - 16} = \frac{16x}{x^2 - 16}$.
Подставим обратно $x = \sqrt[4]{a}$:
$\frac{16\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[4]{a})^2 - 16} = \frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 16}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 16} \cdot \frac{16 - \sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$.
Так как $16 - \sqrt{a} = -(\sqrt{a} - 16)$, то:
$\frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 16} \cdot \frac{-(\sqrt{a} - 16)}{32\sqrt[4]{a^3}} = \frac{-16\sqrt[4]{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$.
Сократим полученную дробь:
$-\frac{16}{32} \cdot \frac{a^{1/4}}{a^{3/4}} = -\frac{1}{2} \cdot a^{1/4 - 3/4} = -\frac{1}{2} \cdot a^{-2/4} = -\frac{1}{2} \cdot a^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{a}}$.
Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{a}}$.

5) Сначала выполним умножение. Пусть $x = \sqrt[8]{m}$, тогда $\sqrt[4]{m} = x^2$.
$\frac{x + 7}{8 - 4x} \cdot \frac{32}{7x + x^2}$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{x + 7}{4(2 - x)} \cdot \frac{32}{x(7 + x)} = \frac{x + 7}{-4(x - 2)} \cdot \frac{32}{x(x + 7)}$.
Сократим общие множители $(x+7)$ и 4:
$\frac{1}{-(x - 2)} \cdot \frac{8}{x} = -\frac{8}{x(x-2)}$.
Теперь выполним сложение с первой дробью:
$\frac{2x}{x-2} - \frac{8}{x(x-2)}$.
Приведем к общему знаменателю $x(x-2)$:
$\frac{2x \cdot x}{x(x-2)} - \frac{8}{x(x-2)} = \frac{2x^2 - 8}{x(x-2)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 и разложим на множители разность квадратов:
$\frac{2(x^2 - 4)}{x(x-2)} = \frac{2(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$.
Сократим на $(x-2)$:
$\frac{2(x+2)}{x}$.
Сделаем обратную замену $x = \sqrt[8]{m}$:
$\frac{2(\sqrt[8]{m} + 2)}{\sqrt[8]{m}}$.
Ответ: $\frac{2(\sqrt[8]{m} + 2)}{\sqrt[8]{m}}$.