Номер 116, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Упростите выражение:

1) $x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}+3) - (x^{\frac{1}{2}}+3)^2;$

2) $(m^{\frac{1}{4}}-n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}}+n^{\frac{1}{4}}) + (2m^{\frac{1}{4}}-3n^{\frac{1}{4}})(5m^{\frac{1}{4}}+2n^{\frac{1}{4}});$

3) $(a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}}-b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}});$

4) $(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{3}}) - a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{6}}).$

1) $x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 3) - (x^{\frac{1}{2}} + 3)^2$
Вынесем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + 3)$ за скобки:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot (x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} + 3))$
Раскроем внутренние скобки:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot (x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 3)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot (-3)$
Раскроем скобки, умножив каждый член на -3:
$-3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 3 = -3x^{\frac{1}{2}} - 9$
Ответ: $-3x^{\frac{1}{2}} - 9$

2) $(m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}) + (2m^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}})(5m^{\frac{1}{4}} + 2n^{\frac{1}{4}})$
Упростим первую часть выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}) = (m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}$
Теперь раскроем скобки во второй части выражения (перемножим многочлены):
$(2m^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}})(5m^{\frac{1}{4}} + 2n^{\frac{1}{4}}) = 2m^{\frac{1}{4}} \cdot 5m^{\frac{1}{4}} + 2m^{\frac{1}{4}} \cdot 2n^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}} \cdot 5m^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}} \cdot 2n^{\frac{1}{4}}$
$= 10m^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} + 4m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 15m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$
$= 10m^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{2}}$
Сложим результаты обеих частей:
$(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) + (10m^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{2}}) = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} + 10m^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые:
$(m^{\frac{1}{2}} + 10m^{\frac{1}{2}}) + (-n^{\frac{1}{2}} - 6n^{\frac{1}{2}}) - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} = 11m^{\frac{1}{2}} - 7n^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}$
Ответ: $11m^{\frac{1}{2}} - 7n^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}$

3) $(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$
Будем последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Сначала перемножим первые две скобки:
$(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}}) = (a^{\frac{1}{12}})^2 - (b^{\frac{1}{12}})^2 = a^{\frac{2}{12}} - b^{\frac{2}{12}} = a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}$
Теперь выражение выглядит так:
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$
Снова применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам:
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$
Выражение упростилось до:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$
Применим формулу разности квадратов в последний раз:
$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

4) $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}) - a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}})$
Первая часть выражения представляет собой формулу разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$, где $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{6}}$. Заметим, что $x^2 = (a^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{1}{3}}$ и $y^2 = (b^{\frac{1}{6}})^2 = b^{\frac{1}{3}}$.
Применим формулу:
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{6}})^3 - (b^{\frac{1}{6}})^3 = a^{\frac{3}{6}} - b^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$
Теперь упростим вторую часть выражения, раскрыв скобки:
$- a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}) = -a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = -a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}} = -a^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}} + a^{\frac{2}{6}} = -a^{\frac{3}{6}} + a^{\frac{1}{3}} = -a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}}$
Объединим обе упрощенные части:
$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + (-a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}}$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) - b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{2}}$