Номер 122, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{a-b} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}$;

2) $\frac{x^{\frac{1}{8}} + 8}{x^{\frac{1}{4}} + 4x^{\frac{1}{8}}} - \frac{x^{\frac{1}{8}} + 1}{3x^{\frac{1}{8}} + 12} - \frac{6-x^{\frac{1}{8}}}{3x^{\frac{1}{8}}}$;

3) $\left( \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}} \right) \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}}{xy^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y}$

1)

Дано выражение: $ \frac{a+b}{a-b} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}} $

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $ b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}} = -(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) $. Тогда третья дробь примет вид: $ \frac{b^{\frac{1}{2}}}{-(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})} = -\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}} $.

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{a+b}{a-b} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}} $

Сгруппируем вторую и третью дроби и приведем их к общему знаменателю $ (a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = a-b $.

$ - \left( \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}} \right) = - \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})} = - \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a-b} = - \frac{2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \frac{a+b}{a-b} - \frac{2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} = \frac{a+b-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности: $ a-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Знаменатель является разностью квадратов: $ a-b = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}) $.

Тогда дробь примет вид:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $

Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $

2)

Дано выражение: $ \frac{x^{\frac{1}{8}}+8}{x^{\frac{1}{4}}+4x^{\frac{1}{8}}} - \frac{x^{\frac{1}{8}}+1}{3x^{\frac{1}{8}}+12} - \frac{6-x^{\frac{1}{8}}}{3x^{\frac{1}{8}}} $

Для удобства введем замену: пусть $ u = x^{\frac{1}{8}} $. Тогда $ x^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{8}})^2 = u^2 $.

Выражение примет вид:

$ \frac{u+8}{u^2+4u} - \frac{u+1}{3u+12} - \frac{6-u}{3u} $

Разложим знаменатели на множители:

$ \frac{u+8}{u(u+4)} - \frac{u+1}{3(u+4)} - \frac{6-u}{3u} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ 3u(u+4) $:

$ \frac{3(u+8)}{3u(u+4)} - \frac{u(u+1)}{3u(u+4)} - \frac{(u+4)(6-u)}{3u(u+4)} $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{3(u+8) - u(u+1) - (u+4)(6-u)}{3u(u+4)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(3u+24) - (u^2+u) - (6u-u^2+24-4u)}{3u(u+4)} = \frac{3u+24 - u^2 - u - (2u-u^2+24)}{3u(u+4)} $

$ \frac{3u+24 - u^2 - u - 2u + u^2 - 24}{3u(u+4)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3u-u-2u) + (-u^2+u^2) + (24-24)}{3u(u+4)} = \frac{0}{3u(u+4)} = 0 $

Ответ: $ 0 $

3)

Дано выражение: $ \left( \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}} \right) \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}}{xy^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y} $

Для удобства введем замену: пусть $ p = x^{\frac{1}{3}} $ и $ q = y^{\frac{1}{3}} $. Тогда $ p^2 = x^{\frac{2}{3}} $, $ q^2 = y^{\frac{2}{3}} $, $ p^3 = x $, $ q^3 = y $.

Выражение примет вид:

$ \left( \frac{p}{p+q} + \frac{q}{p-q} \right) \cdot \frac{p^2-q^2}{p^3q+pq^3} $

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ (p+q)(p-q) = p^2-q^2 $:

$ \frac{p(p-q) + q(p+q)}{(p+q)(p-q)} = \frac{p^2-pq+pq+q^2}{p^2-q^2} = \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} $

Теперь упростим вторую дробь. Разложим ее знаменатель на множители: $ p^3q+pq^3 = pq(p^2+q^2) $.

Вторая дробь: $ \frac{p^2-q^2}{pq(p^2+q^2)} $.

Перемножим полученные выражения:

$ \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} \cdot \frac{p^2-q^2}{pq(p^2+q^2)} $

Сократим одинаковые множители $ (p^2+q^2) $ и $ (p^2-q^2) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{pq} $

Выполним обратную замену $ p=x^{\frac{1}{3}} $ и $ q=y^{\frac{1}{3}} $:

$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{(xy)^{\frac{1}{3}}} $

Ответ: $ \frac{1}{(xy)^{\frac{1}{3}}} $