Номер 119, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Представьте данное выражение в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^{19} - b^5;$

2) $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}};$

3) $x^{\frac{1}{3}} - 5;$

4) $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}}.$

1) $a^{19} - b^5$

а) Чтобы представить данное выражение в виде разности квадратов, мы должны найти такие выражения $X$ и $Y$, что $X^2 = a^{19}$ и $Y^2 = b^5$. Используя свойство степени $(z^m)^n = z^{mn}$, получаем:
$X = (a^{19})^{1/2} = a^{19 \cdot 1/2} = a^{19/2}$
$Y = (b^{5})^{1/2} = b^{5 \cdot 1/2} = b^{5/2}$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a^{19/2})^2 - (b^{5/2})^2$. Теперь разложим его на множители по формуле разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:
$(a^{19/2} - b^{5/2})(a^{19/2} + b^{5/2})$
Ответ: $a^{19} - b^5 = (a^{19/2})^2 - (b^{5/2})^2 = (a^{19/2} - b^{5/2})(a^{19/2} + b^{5/2})$.

б) Чтобы представить данное выражение в виде разности кубов, мы должны найти такие выражения $X$ и $Y$, что $X^3 = a^{19}$ и $Y^3 = b^5$.
$X = (a^{19})^{1/3} = a^{19/3}$
$Y = (b^{5})^{1/3} = b^{5/3}$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a^{19/3})^3 - (b^{5/3})^3$. Теперь разложим его на множители по формуле разности кубов $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$:
$(a^{19/3} - b^{5/3})((a^{19/3})^2 + a^{19/3}b^{5/3} + (b^{5/3})^2) = (a^{19/3} - b^{5/3})(a^{38/3} + a^{19/3}b^{5/3} + b^{10/3})$
Ответ: $a^{19} - b^5 = (a^{19/3})^3 - (b^{5/3})^3 = (a^{19/3} - b^{5/3})(a^{38/3} + a^{19/3}b^{5/3} + b^{10/3})$.

2) $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}}$

а) Представим выражение в виде разности квадратов. Для этого найдем $X$ и $Y$, такие что $X^2 = x^{4/5}$ и $Y^2 = y^{3/7}$.
$X = (x^{4/5})^{1/2} = x^{4/5 \cdot 1/2} = x^{2/5}$
$Y = (y^{3/7})^{1/2} = y^{3/7 \cdot 1/2} = y^{3/14}$
Тогда выражение принимает вид $(x^{2/5})^2 - (y^{3/14})^2$. Разложим на множители по формуле разности квадратов:
$(x^{2/5} - y^{3/14})(x^{2/5} + y^{3/14})$
Ответ: $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}} = (x^{2/5})^2 - (y^{3/14})^2 = (x^{2/5} - y^{3/14})(x^{2/5} + y^{3/14})$.

б) Представим выражение в виде разности кубов. Для этого найдем $X$ и $Y$, такие что $X^3 = x^{4/5}$ и $Y^3 = y^{3/7}$.
$X = (x^{4/5})^{1/3} = x^{4/5 \cdot 1/3} = x^{4/15}$
$Y = (y^{3/7})^{1/3} = y^{3/7 \cdot 1/3} = y^{3/21} = y^{1/7}$
Тогда выражение принимает вид $(x^{4/15})^3 - (y^{1/7})^3$. Разложим на множители по формуле разности кубов:
$(x^{4/15} - y^{1/7})((x^{4/15})^2 + x^{4/15}y^{1/7} + (y^{1/7})^2) = (x^{4/15} - y^{1/7})(x^{8/15} + x^{4/15}y^{1/7} + y^{2/7})$
Ответ: $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}} = (x^{4/15})^3 - (y^{1/7})^3 = (x^{4/15} - y^{1/7})(x^{8/15} + x^{4/15}y^{1/7} + y^{2/7})$.

3) $x^{\frac{1}{3}} - 5$

а) Представим выражение в виде разности квадратов.
$X^2 = x^{1/3} \implies X = (x^{1/3})^{1/2} = x^{1/6}$
$Y^2 = 5 \implies Y = \sqrt{5}$
Получаем: $(x^{1/6})^2 - (\sqrt{5})^2$. Разложение на множители:
$(x^{1/6} - \sqrt{5})(x^{1/6} + \sqrt{5})$
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 5 = (x^{1/6})^2 - (\sqrt{5})^2 = (x^{1/6} - \sqrt{5})(x^{1/6} + \sqrt{5})$.

б) Представим выражение в виде разности кубов.
$X^3 = x^{1/3} \implies X = (x^{1/3})^{1/3} = x^{1/9}$
$Y^3 = 5 \implies Y = \sqrt[3]{5}$
Получаем: $(x^{1/9})^3 - (\sqrt[3]{5})^3$. Разложение на множители:
$(x^{1/9} - \sqrt[3]{5})((x^{1/9})^2 + x^{1/9}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2) = (x^{1/9} - \sqrt[3]{5})(x^{2/9} + \sqrt[3]{5}x^{1/9} + \sqrt[3]{25})$
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 5 = (x^{1/9})^3 - (\sqrt[3]{5})^3 = (x^{1/9} - \sqrt[3]{5})(x^{2/9} + \sqrt[3]{5}x^{1/9} + \sqrt[3]{25})$.

4) $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}}$

а) Представим выражение в виде разности квадратов.
$X^2 = x^{5/11} \implies X = (x^{5/11})^{1/2} = x^{5/22}$
$Y^2 = y^{1/5} \implies Y = (y^{1/5})^{1/2} = y^{1/10}$
Получаем: $(x^{5/22})^2 - (y^{1/10})^2$. Разложение на множители:
$(x^{5/22} - y^{1/10})(x^{5/22} + y^{1/10})$
Ответ: $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}} = (x^{5/22})^2 - (y^{1/10})^2 = (x^{5/22} - y^{1/10})(x^{5/22} + y^{1/10})$.

б) Представим выражение в виде разности кубов.
$X^3 = x^{5/11} \implies X = (x^{5/11})^{1/3} = x^{5/33}$
$Y^3 = y^{1/5} \implies Y = (y^{1/5})^{1/3} = y^{1/15}$
Получаем: $(x^{5/33})^3 - (y^{1/15})^3$. Разложение на множители:
$(x^{5/33} - y^{1/15})((x^{5/33})^2 + x^{5/33}y^{1/15} + (y^{1/15})^2) = (x^{5/33} - y^{1/15})(x^{10/33} + x^{5/33}y^{1/15} + y^{2/15})$
Ответ: $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}} = (x^{5/33})^3 - (y^{1/15})^3 = (x^{5/33} - y^{1/15})(x^{10/33} + x^{5/33}y^{1/15} + y^{2/15})$.