Номер 120, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $x - 5x^{\frac{1}{3}};$

2) $m^{\frac{2}{5}}n - n^{\frac{2}{5}}m;$

3) $10^{\frac{2}{5}} - 15^{\frac{2}{5}};$

4) $6a^{\frac{2}{3}} + 9a^{\frac{5}{6}};$

5) $x^{\frac{1}{5}} - 5x^{\frac{1}{6}};$

6) $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}} - xy + x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}}.$

1) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $x - 5x^{\frac{1}{3}}$, необходимо найти переменную в наименьшей степени. В данном выражении это $x^{\frac{1}{3}}$. Выносим этот множитель за скобки, разделив на него каждый член выражения:
$x - 5x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{x^1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{5x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = x^{\frac{1}{3}}(x^{1-\frac{1}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}) = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} - 5x^0) = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} - 5)$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} - 5)$.

2) В выражении $m^{\frac{2}{5}}n - n^{\frac{2}{5}}m$ общими множителями являются $m$ и $n$. Для каждой переменной выбираем наименьшую степень. Для $m$ наименьшая степень это $\frac{2}{5}$, а для $n$ — также $\frac{2}{5}$. Таким образом, общий множитель — $m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}$. Вынесем его за скобки:
$m^{\frac{2}{5}}n - n^{\frac{2}{5}}m = m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(\frac{m^{\frac{2}{5}}n^1}{m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}} - \frac{n^{\frac{2}{5}}m^1}{m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}}) = m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(n^{1-\frac{2}{5}} - m^{1-\frac{2}{5}}) = m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(n^{\frac{3}{5}} - m^{\frac{3}{5}})$.
Ответ: $m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(n^{\frac{3}{5}} - m^{\frac{3}{5}})$.

3) Для выражения $10^{\frac{2}{5}} - 15^{\frac{2}{5}}$ сначала разложим основания степеней $10$ и $15$ на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Тогда выражение примет вид: $(2 \cdot 5)^{\frac{2}{5}} - (3 \cdot 5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство степени $(ab)^c = a^c b^c$, получаем: $2^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}$.
Теперь видно, что общий множитель это $5^{\frac{2}{5}}$. Вынесем его за скобки:
$5^{\frac{2}{5}}(2^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}})$.
Ответ: $5^{\frac{2}{5}}(2^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}})$.

4) В выражении $6a^{\frac{2}{3}} + 9a^{\frac{5}{6}}$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменной. Наибольший общий делитель для 6 и 9 — это 3. Для переменной $a$ нужно выбрать наименьшую степень. Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, наименьшая степень — $\frac{2}{3}$.
Общий множитель — $3a^{\frac{2}{3}}$. Вынесем его за скобки:
$6a^{\frac{2}{3}} + 9a^{\frac{5}{6}} = 3a^{\frac{2}{3}}(\frac{6a^{\frac{2}{3}}}{3a^{\frac{2}{3}}} + \frac{9a^{\frac{5}{6}}}{3a^{\frac{2}{3}}}) = 3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{5}{6}-\frac{2}{3}}) = 3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{5}{6}-\frac{4}{6}}) = 3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{1}{6}})$.
Ответ: $3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{1}{6}})$.

5) В выражении $x^{\frac{1}{5}} - 5x^{\frac{1}{6}}$ общим множителем является переменная $x$ в наименьшей степени. Сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Приведя к общему знаменателю 30, получим $\frac{6}{30}$ и $\frac{5}{30}$. Наименьшая степень — $\frac{1}{6}$.
Вынесем за скобки $x^{\frac{1}{6}}$:
$x^{\frac{1}{5}} - 5x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{6}}(\frac{x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{6}}} - \frac{5x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{6}}}) = x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} - 5) = x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{6-5}{30}} - 5) = x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{1}{30}} - 5)$.
Ответ: $x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{1}{30}} - 5)$.

6) В выражении $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}} - xy + x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}}$ найдем общий множитель для всех трех слагаемых. Для переменной $x$ степени равны $\frac{3}{8}$, $1$ и $\frac{5}{8}$. Наименьшая из них — $\frac{3}{8}$. Для переменной $y$ степени равны $\frac{1}{4}$, $1$ и $\frac{3}{4}$. Наименьшая из них — $\frac{1}{4}$.
Следовательно, общий множитель — $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}$. Вынесем его за скобки:
$x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(\frac{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}} - \frac{xy}{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}} + \frac{x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}}) = x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{1-\frac{3}{8}}y^{1-\frac{1}{4}} + x^{\frac{5}{8}-\frac{3}{8}}y^{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}) = x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{8}}y^{\frac{2}{4}}) = x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}})$.
Ответ: $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}})$.