Номер 117, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Найдите значение выражения:

1) $5^{3,2} \cdot 5^{-2,8} \cdot 5^{2,6};$

2) $(3^{-0,9})^8 : 3^{-10,2};$

3) $(7^{16/17})^{51/32} \cdot 49^{1,25};$

4) $625^{-2,25} \cdot 25^{2/3} \cdot 125^{25/9};$

5) $\left(\frac{3^{5/7} \cdot 5^{5/7}}{15^{-1} \cdot 2^{2/7}}\right)^{-7};$

1) $5^{3,2} \cdot 5^{-2,8} \cdot 5^{2,6}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{3,2} \cdot 5^{-2,8} \cdot 5^{2,6} = 5^{3,2 - 2,8 + 2,6} = 5^{0,4 + 2,6} = 5^3$.
Вычисляем значение: $5^3 = 125$.

Ответ: 125.

2) $(3^{-0,9})^8 : 3^{-10,2}$

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^{-0,9})^8 = 3^{-0,9 \cdot 8} = 3^{-7,2}$.
Теперь воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{-7,2} : 3^{-10,2} = 3^{-7,2 - (-10,2)} = 3^{-7,2 + 10,2} = 3^3$.
Вычисляем значение: $3^3 = 27$.

Ответ: 27.

3) $(7^{\frac{16}{51}})^{-\frac{51}{32}} \cdot 49^{1,25}$

Упростим каждый множитель по отдельности. Для первого множителя применим правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^{\frac{16}{51}})^{-\frac{51}{32}} = 7^{\frac{16}{51} \cdot (-\frac{51}{32})} = 7^{-\frac{16}{32}} = 7^{-\frac{1}{2}}$.
Для второго множителя представим $49$ как $7^2$ и $1,25$ как дробь $\frac{5}{4}$:
$49^{1,25} = (7^2)^{\frac{5}{4}} = 7^{2 \cdot \frac{5}{4}} = 7^{\frac{5}{2}}$.
Теперь перемножим полученные выражения, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{2}} = 7^{-\frac{1}{2} + \frac{5}{2}} = 7^{\frac{4}{2}} = 7^2 = 49$.

Ответ: 49.

4) $625^{-2,25} \cdot 25^{\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}}$

Приведем все основания к степени числа 5: $625 = 5^4$, $25 = 5^2$, $125 = 5^3$. Также представим десятичную степень в виде дроби: $-2,25 = -\frac{9}{4}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(5^4)^{-\frac{9}{4}} \cdot (5^2)^{\frac{2}{3}} \cdot (5^3)^{\frac{25}{9}}$.
Упростим каждый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{4 \cdot (-\frac{9}{4})} \cdot 5^{2 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 5^{3 \cdot \frac{25}{9}} = 5^{-9} \cdot 5^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{25}{3}}$.
Теперь сложим показатели степеней:
$5^{-9 + \frac{4}{3} + \frac{25}{3}} = 5^{-9 + \frac{29}{3}} = 5^{-\frac{27}{3} + \frac{29}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$.
Значение выражения можно записать в виде корня: $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.

Ответ: $5^{\frac{2}{3}}$ (или $\sqrt[3]{25}$).

5) $(\frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1\frac{2}{7}}}) ^{-7}$

Сначала упростим выражение в числителе, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}} = (3 \cdot 5)^{-\frac{5}{7}} = 15^{-\frac{5}{7}}$.
Теперь упростим дробь внутри скобок. Знаменатель $15^{-1\frac{2}{7}} = 15^{-\frac{9}{7}}$.
$\frac{15^{-\frac{5}{7}}}{15^{-\frac{9}{7}}} = 15^{-\frac{5}{7} - (-\frac{9}{7})} = 15^{-\frac{5}{7} + \frac{9}{7}} = 15^{\frac{4}{7}}$.
Теперь возведем полученный результат в степень -7:
$(15^{\frac{4}{7}})^{-7} = 15^{\frac{4}{7} \cdot (-7)} = 15^{-4}$.
Вычислим значение: $15^{-4} = \frac{1}{15^4} = \frac{1}{(15^2)^2} = \frac{1}{225^2} = \frac{1}{50625}$.

Ответ: $\frac{1}{50625}$.