Номер 113, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{3}{4}}$;

2) $y = x^{-0.7}$;

3) $y = (x+4)^{1.2}$;

4) $y = \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{1.4}$;

5) $y = (x^2 + 8x - 9)^{-\frac{1}{5}}.$

Область определения степенной функции $y = (f(x))^a$ зависит от показателя степени $a$ и области определения основания $f(x)$.

1) $y = x^{\frac{3}{4}}$

Дана степенная функция $y = x^a$ с показателем $a = \frac{3}{4}$.
Показатель степени является положительным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=4$ является четным числом.
Для степенной функции с таким показателем основание степени должно быть неотрицательным.
Следовательно, $x \ge 0$.
В виде промежутка область определения записывается как $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) $y = x^{-0.7}$

Дана степенная функция $y = x^a$ с показателем $a = -0.7$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $a = -0.7 = -\frac{7}{10}$.
Показатель является отрицательным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = -\frac{p}{q}$ знаменатель $q=10$ является четным числом.
Из-за четного знаменателя основание степени должно быть неотрицательным ($x \ge 0$).
Из-за того, что показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю, так как это приведет к делению на ноль ($y = \frac{1}{x^{0.7}}$). Таким образом, $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что основание должно быть строго положительным: $x > 0$.
В виде промежутка область определения записывается как $(0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

3) $y = (x + 4)^{1.2}$

Дана степенная функция вида $y = (f(x))^a$, где основание $f(x) = x+4$ и показатель $a = 1.2$.
Переведем показатель в обыкновенную дробь и сократим ее: $a = 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Показатель является положительным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=5$ является нечетным числом.
В этом случае область определения функции совпадает с областью определения ее основания $f(x)=x+4$.
Выражение $x+4$ определено для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения исходной функции — множество всех действительных чисел $R$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) $y = \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{1.4}$

Дана степенная функция вида $y = (f(x))^a$, где основание $f(x) = \frac{x-3}{x+1}$ и показатель $a = 1.4$.
Переведем показатель в обыкновенную дробь и сократим ее: $a = 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Показатель является положительным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=5$ является нечетным числом.
В этом случае область определения функции совпадает с областью определения ее основания $f(x) = \frac{x-3}{x+1}$.
Основание $f(x)$ является дробно-рациональной функцией, которая определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем недопустимое значение $x$: $x+1 = 0 \implies x = -1$.
Следовательно, область определения исходной функции — все действительные числа, кроме $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

5) $y = (x^2 + 8x - 9)^{-\frac{1}{5}}$

Дана степенная функция вида $y = (f(x))^a$, где основание $f(x) = x^2+8x-9$ и показатель $a = -\frac{1}{5}$.
Показатель является отрицательным рациональным числом. В записи показателя в виде дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=5$ является нечетным числом.
Так как знаменатель нечетный, функция определена для всех $x$ из области определения основания. Однако, поскольку показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю.
Основание $f(x) = x^2+8x-9$ — многочлен, он определен для всех действительных чисел $x$.
Найдем значения $x$, при которых основание равно нулю, чтобы исключить их из области определения:
$x^2 + 8x - 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$.
Следовательно, из области определения нужно исключить точки $x=1$ и $x=-9$.
Область определения — все действительные числа, кроме $-9$ и $1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup (-9, 1) \cup (1, +\infty)$.