Страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $3^{\frac{1}{2}};$

2) $10^{\frac{4}{5}};$

3) $6^{-\frac{1}{4}};$

4) $12^{-\frac{2}{3}};$

5) $(a + b)^{1,5};$

6) $(x^2 - 3y)^{-\frac{3}{3}}.$

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется основное свойство степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Если показатель степени отрицательный, применяется правило: $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) $3^{\frac{1}{2}}$
Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a=3$, $m=1$, $n=2$.
$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) $10^{\frac{4}{5}}$
Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a=10$, $m=4$, $n=5$.
$10^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{10^4}$.
Ответ: $\sqrt[5]{10^4}$.

3) $6^{-\frac{1}{4}}$
Сначала избавимся от отрицательного показателя: $6^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{6^{\frac{1}{4}}}$.
Затем преобразуем степень в корень: $6^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{6^1} = \sqrt[4]{6}$.
Следовательно, $6^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{6}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{6}}$.

4) $12^{-\frac{2}{3}}$
Преобразуем степень с отрицательным показателем: $12^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{12^{\frac{2}{3}}}$.
Затем преобразуем степень в корень: $12^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{12^2}$.
Следовательно, $12^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{12^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{12^2}}$.

5) $(a + b)^{1,5}$
Сначала представим десятичный показатель в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Таким образом, $(a + b)^{1,5} = (a + b)^{\frac{3}{2}}$.
Теперь применяем формулу, где основание $a'=(a+b)$, $m=3$, $n=2$.
$(a + b)^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{(a+b)^3} = \sqrt{(a+b)^3}$.
Ответ: $\sqrt{(a+b)^3}$.

6) $(x^2 - 3y)^{-3\frac{1}{3}}$
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $-3\frac{1}{3} = -(3 + \frac{1}{3}) = -\frac{10}{3}$.
Получаем выражение $(x^2 - 3y)^{-\frac{10}{3}}$.
Избавимся от отрицательного показателя: $(x^2 - 3y)^{-\frac{10}{3}} = \frac{1}{(x^2 - 3y)^{\frac{10}{3}}}$.
Преобразуем степень в корень, где основание $a'=(x^2 - 3y)$, $m=10$, $n=3$.
$(x^2 - 3y)^{\frac{10}{3}} = \sqrt[3]{(x^2 - 3y)^{10}}$.
Следовательно, $(x^2 - 3y)^{-3\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x^2 - 3y)^{10}}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{(x^2 - 3y)^{10}}}$.

111. Замените арифметический корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt{a}$;

2) $\sqrt[3]{m^2}$;

3) $\sqrt[6]{2x}$;

4) $\sqrt[4]{5^{-3}}$;

5) $\sqrt[9]{(x+y)^2}$;

6) $\sqrt[9]{x^2+y^2}$.

Чтобы заменить арифметический корень степенью с дробным показателем, используется следующая формула: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $. В этой формуле $ n $ является показателем корня (натуральное число, $ n \ge 2 $), а $ m $ — показателем степени подкоренного выражения. Если показатель степени у подкоренного выражения не указан, он равен 1. Если не указан показатель корня (как в случае с квадратным корнем), он равен 2.

1) $ \sqrt{a} $

Квадратный корень имеет показатель $ n=2 $. Подкоренное выражение $ a $ находится в первой степени, то есть $ m=1 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = a^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} $

2) $ \sqrt[3]{m^2} $

Показатель корня $ n=3 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m=2 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[3]{m^2} = m^{\frac{2}{3}} $.

Ответ: $ m^{\frac{2}{3}} $

3) $ \sqrt[6]{2x} $

Показатель корня $ n=6 $. Подкоренное выражение $ 2x $ можно рассматривать как $ (2x)^1 $, поэтому $ m=1 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[6]{2x} = (2x)^{\frac{1}{6}} $.

Ответ: $ (2x)^{\frac{1}{6}} $

4) $ \sqrt[4]{5^{-3}} $

Показатель корня $ n=4 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m=-3 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[4]{5^{-3}} = 5^{\frac{-3}{4}} = 5^{-\frac{3}{4}} $.

Ответ: $ 5^{-\frac{3}{4}} $

5) $ \sqrt[9]{(x+y)^2} $

Показатель корня $ n=9 $. Подкоренное выражение — это $ (x+y) $ во второй степени, поэтому $ m=2 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[9]{(x+y)^2} = (x+y)^{\frac{2}{9}} $.

Ответ: $ (x+y)^{\frac{2}{9}} $

6) $ \sqrt[9]{x^2+y^2} $

Показатель корня $ n=9 $. Подкоренное выражение $ x^2+y^2 $ можно рассматривать как $ (x^2+y^2)^1 $, поэтому $ m=1 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[9]{x^2+y^2} = (x^2+y^2)^{\frac{1}{9}} $.

Ответ: $ (x^2+y^2)^{\frac{1}{9}} $

112. Найдите значение выражения:

1) $27^{\frac{1}{3}}$;

2) $64^{-\frac{5}{6}}$;

3) $0,0001^{-0,25}$;

4) $256^{0,375}$;

5) $\left(2\frac{23}{49}\right)^{-1,5}$.

1) Для вычисления $27^{\frac{1}{3}}$ представим основание 27 в виде степени с основанием 3: $27 = 3^3$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3.

2) Для вычисления $64^{\frac{5}{6}}$ представим основание 64 в виде степени с основанием 2: $64 = 2^6$.

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$64^{\frac{5}{6}} = (2^6)^{\frac{5}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 32.

3) Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и степени.

Основание: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Показатель степени: $-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в исходное выражение и используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,0001^{-0,25} = (10^{-4})^{-\frac{1}{4}} = 10^{-4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 10^1 = 10$.

Ответ: 10.

4) Преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь.

$0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{3}{8}$.

Представим основание 256 в виде степени с основанием 2. Известно, что $256 = 2^8$.

Теперь подставим полученные значения в выражение и применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$256^{0,375} = (2^8)^{\frac{3}{8}} = 2^{8 \cdot \frac{3}{8}} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8.

5) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а десятичный показатель степени — в обыкновенную дробь.

Основание: $2\frac{23}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 23}{49} = \frac{98 + 23}{49} = \frac{121}{49}$.

Показатель степени: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{121}{49})^{-\frac{3}{2}}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $:

$(\frac{121}{49})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{49}{121})^{\frac{3}{2}}$.

Теперь представим основание дроби в виде квадратов чисел: $\frac{49}{121} = \frac{7^2}{11^2} = (\frac{7}{11})^2$.

Подставим это в выражение и применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$((\frac{7}{11})^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{7}{11})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{7}{11})^3 = \frac{7^3}{11^3} = \frac{343}{1331}$.

Ответ: $\frac{343}{1331}$.

113. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{3}{4}}$;

2) $y = x^{-0.7}$;

3) $y = (x+4)^{1.2}$;

4) $y = \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{1.4}$;

5) $y = (x^2 + 8x - 9)^{-\frac{1}{5}}.$

Область определения степенной функции $y = (f(x))^a$ зависит от показателя степени $a$ и области определения основания $f(x)$.

1) $y = x^{\frac{3}{4}}$

Дана степенная функция $y = x^a$ с показателем $a = \frac{3}{4}$.
Показатель степени является положительным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=4$ является четным числом.
Для степенной функции с таким показателем основание степени должно быть неотрицательным.
Следовательно, $x \ge 0$.
В виде промежутка область определения записывается как $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) $y = x^{-0.7}$

Дана степенная функция $y = x^a$ с показателем $a = -0.7$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $a = -0.7 = -\frac{7}{10}$.
Показатель является отрицательным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = -\frac{p}{q}$ знаменатель $q=10$ является четным числом.
Из-за четного знаменателя основание степени должно быть неотрицательным ($x \ge 0$).
Из-за того, что показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю, так как это приведет к делению на ноль ($y = \frac{1}{x^{0.7}}$). Таким образом, $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что основание должно быть строго положительным: $x > 0$.
В виде промежутка область определения записывается как $(0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

3) $y = (x + 4)^{1.2}$

Дана степенная функция вида $y = (f(x))^a$, где основание $f(x) = x+4$ и показатель $a = 1.2$.
Переведем показатель в обыкновенную дробь и сократим ее: $a = 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Показатель является положительным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=5$ является нечетным числом.
В этом случае область определения функции совпадает с областью определения ее основания $f(x)=x+4$.
Выражение $x+4$ определено для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения исходной функции — множество всех действительных чисел $R$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) $y = \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{1.4}$

Дана степенная функция вида $y = (f(x))^a$, где основание $f(x) = \frac{x-3}{x+1}$ и показатель $a = 1.4$.
Переведем показатель в обыкновенную дробь и сократим ее: $a = 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Показатель является положительным рациональным числом. В записи показателя в виде несократимой дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=5$ является нечетным числом.
В этом случае область определения функции совпадает с областью определения ее основания $f(x) = \frac{x-3}{x+1}$.
Основание $f(x)$ является дробно-рациональной функцией, которая определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем недопустимое значение $x$: $x+1 = 0 \implies x = -1$.
Следовательно, область определения исходной функции — все действительные числа, кроме $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

5) $y = (x^2 + 8x - 9)^{-\frac{1}{5}}$

Дана степенная функция вида $y = (f(x))^a$, где основание $f(x) = x^2+8x-9$ и показатель $a = -\frac{1}{5}$.
Показатель является отрицательным рациональным числом. В записи показателя в виде дроби $a = \frac{p}{q}$ знаменатель $q=5$ является нечетным числом.
Так как знаменатель нечетный, функция определена для всех $x$ из области определения основания. Однако, поскольку показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю.
Основание $f(x) = x^2+8x-9$ — многочлен, он определен для всех действительных чисел $x$.
Найдем значения $x$, при которых основание равно нулю, чтобы исключить их из области определения:
$x^2 + 8x - 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$.
Следовательно, из области определения нужно исключить точки $x=1$ и $x=-9$.
Область определения — все действительные числа, кроме $-9$ и $1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup (-9, 1) \cup (1, +\infty)$.

114. Упростите выражение:

1) $y^{3.4} \cdot y^{-1.8};$

2) $y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}};$

3) $(y^{-4})^{0.9};$

4) $y^{\frac{5}{9}} \cdot y^{\frac{5}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}};$

5) $\left(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}}\right)^{\frac{49}{20}};$

6) $(y^6)^{-0.9} \cdot (y^{2.3})^4 : (y^{-2.5})^4;$

7) $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}};$

8) $\sqrt[5]{a} \cdot a^{\frac{5}{6}};$

9) $\sqrt[6]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{7}};$

10) $\left(\sqrt[5]{a^{-4}}\right)^{\frac{5}{16}} \cdot \left(a^{-\frac{7}{8}}\right)^{\frac{4}{21}}.$

1) Для упрощения выражения $y^{3.4} \cdot y^{-1.8}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$y^{3.4} \cdot y^{-1.8} = y^{3.4 + (-1.8)} = y^{3.4 - 1.8} = y^{1.6}$.
Ответ: $y^{1.6}$.

2) Для упрощения выражения $y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}} = y^{\frac{15}{28} - \frac{6}{7}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 28:
$\frac{15}{28} - \frac{6}{7} = \frac{15}{28} - \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{15}{28} - \frac{24}{28} = \frac{15 - 24}{28} = -\frac{9}{28}$.
Следовательно, выражение равно $y^{-\frac{9}{28}}$.
Ответ: $y^{-\frac{9}{28}}$.

3) Для упрощения выражения $(y^{-4})^{0.9}$ воспользуемся свойством степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
$(y^{-4})^{0.9} = y^{-4 \cdot 0.9} = y^{-3.6}$.
Ответ: $y^{-3.6}$.

4) Для упрощения выражения $y^{\frac{5}{9}} \cdot y^{\frac{5}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$y^{\frac{5}{9}} \cdot y^{\frac{5}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}} = y^{\frac{5}{9} + \frac{5}{12} + \frac{5}{6}}$.
Найдем сумму показателей, приведя дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{5}{9} + \frac{5}{12} + \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{5 \cdot 6}{36} = \frac{20 + 15 + 30}{36} = \frac{65}{36}$.
Таким образом, выражение равно $y^{\frac{65}{36}}$.
Ответ: $y^{\frac{65}{36}}$.

5) Для упрощения выражения $(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}}$ воспользуемся свойствами $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}} = (x^{\frac{10}{21}})^{\frac{49}{20}} \cdot (y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}}$.
Упростим показатель для $x$: $\frac{10}{21} \cdot \frac{49}{20} = \frac{10 \cdot 49}{21 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6}$.
Упростим показатель для $y$: $\frac{16}{35} \cdot \frac{49}{20} = \frac{16 \cdot 49}{35 \cdot 20} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{28}{25}$.
Результат: $x^{\frac{7}{6}} y^{\frac{28}{25}}$.
Ответ: $x^{\frac{7}{6}} y^{\frac{28}{25}}$.

6) Упростим выражение $(y^6)^{-0.9} \cdot (y^{2.3})^4 : (y^{-2.5})^4$ по частям, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(y^6)^{-0.9} = y^{6 \cdot (-0.9)} = y^{-5.4}$.
$(y^{2.3})^4 = y^{2.3 \cdot 4} = y^{9.2}$.
$(y^{-2.5})^4 = y^{-2.5 \cdot 4} = y^{-10}$.
Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение: $y^{-5.4} \cdot y^{9.2} : y^{-10}$.
Используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$, получим:
$y^{-5.4 + 9.2 - (-10)} = y^{-5.4 + 9.2 + 10} = y^{3.8 + 10} = y^{13.8}$.
Ответ: $y^{13.8}$.

7) Упростим выражение $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$. Сначала упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Числитель: $x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{6} + \frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{12} + \frac{3}{12}} = x^{\frac{5}{12}}$.
Знаменатель: $x^{\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{2}{9} + \frac{1}{12}} = x^{\frac{8}{36} + \frac{3}{36}} = x^{\frac{11}{36}}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^{\frac{5}{12}}}{x^{\frac{11}{36}}} = x^{\frac{5}{12} - \frac{11}{36}} = x^{\frac{15}{36} - \frac{11}{36}} = x^{\frac{4}{36}} = x^{\frac{1}{9}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{9}}$.

8) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{a} \cdot a^{\frac{5}{6}}$ представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}}$.
Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{5}{6}}$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$\frac{1}{5} + \frac{5}{6} = \frac{6}{30} + \frac{25}{30} = \frac{31}{30}$.
Результат: $a^{\frac{31}{30}}$.
Ответ: $a^{\frac{31}{30}}$.

9) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{7}}$ представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$.
Выражение принимает вид: $a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{-\frac{3}{7}}$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$\frac{5}{6} + (-\frac{3}{7}) = \frac{5}{6} - \frac{3}{7} = \frac{35 - 18}{42} = \frac{17}{42}$.
Результат: $a^{\frac{17}{42}}$.
Ответ: $a^{\frac{17}{42}}$.

10) Упростим выражение $(\sqrt[5]{a^{-4}})^{\frac{5}{16}} \cdot (a^{\frac{7}{8}})^{\frac{4}{21}}$ по частям.
Сначала преобразуем первый множитель. Представим корень в виде степени: $\sqrt[5]{a^{-4}} = a^{-\frac{4}{5}}$.
Теперь возведем в степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^{-\frac{4}{5}})^{\frac{5}{16}} = a^{-\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{16}} = a^{-\frac{4}{16}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Теперь упростим второй множитель:
$(a^{\frac{7}{8}})^{\frac{4}{21}} = a^{\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{21}} = a^{\frac{28}{168}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Перемножим полученные результаты: $a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$-\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = -\frac{1}{12}$.
Результат: $a^{-\frac{1}{12}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{12}}$.

115. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте выражение в виде: а) квадрата; б) куба; в) шестой степени:

1) $a^{12}$;

2) $a^{-15}$;

3) $a^{\frac{1}{4}}$;

4) $a^{4,2}$;

5) $a^{-1\frac{2}{3}}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Чтобы представить выражение $a^k$ в виде $n$-ой степени, нам нужно найти такой показатель $m$, чтобы выполнялось равенство $(a^m)^n = a^k$. Из этого следует, что $m \cdot n = k$, а значит, $m = \frac{k}{n}$.

1) $a^{12}$

а) в виде квадрата
Чтобы представить $a^{12}$ в виде квадрата, нужно найти показатель степени $m$ для выражения $(a^m)^2$.
$2m = 12$, следовательно, $m = \frac{12}{2} = 6$.
Получаем: $a^{12} = (a^6)^2$.
Ответ: $(a^6)^2$.

б) в виде куба
Чтобы представить $a^{12}$ в виде куба, нужно найти показатель степени $m$ для выражения $(a^m)^3$.
$3m = 12$, следовательно, $m = \frac{12}{3} = 4$.
Получаем: $a^{12} = (a^4)^3$.
Ответ: $(a^4)^3$.

в) в виде шестой степени
Чтобы представить $a^{12}$ в виде шестой степени, нужно найти показатель степени $m$ для выражения $(a^m)^6$.
$6m = 12$, следовательно, $m = \frac{12}{6} = 2$.
Получаем: $a^{12} = (a^2)^6$.
Ответ: $(a^2)^6$.

2) $a^{-15}$

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{-15}$.
$2m = -15$, следовательно, $m = \frac{-15}{2} = -7.5$.
Получаем: $a^{-15} = (a^{-7.5})^2$.
Ответ: $(a^{-7.5})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{-15}$.
$3m = -15$, следовательно, $m = \frac{-15}{3} = -5$.
Получаем: $a^{-15} = (a^{-5})^3$.
Ответ: $(a^{-5})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{-15}$.
$6m = -15$, следовательно, $m = \frac{-15}{6} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
Получаем: $a^{-15} = (a^{-2.5})^6$.
Ответ: $(a^{-2.5})^6$.

3) $a^{\frac{1}{4}}$

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{\frac{1}{4}}$.
$2m = \frac{1}{4}$, следовательно, $m = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$.
Получаем: $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{8}})^2$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{8}})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{\frac{1}{4}}$.
$3m = \frac{1}{4}$, следовательно, $m = \frac{1}{4} \div 3 = \frac{1}{12}$.
Получаем: $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{12}})^3$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{12}})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{\frac{1}{4}}$.
$6m = \frac{1}{4}$, следовательно, $m = \frac{1}{4} \div 6 = \frac{1}{24}$.
Получаем: $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{24}})^6$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{24}})^6$.

4) $a^{4.2}$

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{4.2}$.
$2m = 4.2$, следовательно, $m = \frac{4.2}{2} = 2.1$.
Получаем: $a^{4.2} = (a^{2.1})^2$.
Ответ: $(a^{2.1})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{4.2}$.
$3m = 4.2$, следовательно, $m = \frac{4.2}{3} = 1.4$.
Получаем: $a^{4.2} = (a^{1.4})^3$.
Ответ: $(a^{1.4})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{4.2}$.
$6m = 4.2$, следовательно, $m = \frac{4.2}{6} = 0.7$.
Получаем: $a^{4.2} = (a^{0.7})^6$.
Ответ: $(a^{0.7})^6$.

5) $a^{-1\frac{2}{3}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$. Таким образом, выражение равно $a^{-\frac{5}{3}}$.

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{-\frac{5}{3}}$.
$2m = -\frac{5}{3}$, следовательно, $m = -\frac{5}{3} \div 2 = -\frac{5}{6}$.
Получаем: $a^{-1\frac{2}{3}} = (a^{-\frac{5}{6}})^2$.
Ответ: $(a^{-\frac{5}{6}})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{-\frac{5}{3}}$.
$3m = -\frac{5}{3}$, следовательно, $m = -\frac{5}{3} \div 3 = -\frac{5}{9}$.
Получаем: $a^{-1\frac{2}{3}} = (a^{-\frac{5}{9}})^3$.
Ответ: $(a^{-\frac{5}{9}})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{-\frac{5}{3}}$.
$6m = -\frac{5}{3}$, следовательно, $m = -\frac{5}{3} \div 6 = -\frac{5}{18}$.
Получаем: $a^{-1\frac{2}{3}} = (a^{-\frac{5}{18}})^6$.
Ответ: $(a^{-\frac{5}{18}})^6$.