Страница 19 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[4]{(5-x)^4}; $

2) $ \sqrt[6]{(m-3)^6}, $ если $m \le 3;$

3) $ \sqrt[8]{(y+1)^8}, $ если $y \ge -1;$

4) $ (x-12) \sqrt[10]{\frac{1024}{(12-x)^{10}}}, $ если $x < 12.$

1) Для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ выполняется тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Это означает, что корень четной степени из выражения в той же четной степени равен модулю этого выражения. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[4]{(5-x)^4} = |5-x|$. Так как нет дополнительных условий на переменную $x$, это и есть окончательный упрощенный вид.
Ответ: $|5-x|$.

2) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[6]{(m-3)^6} = |m-3|$. По условию дано, что $m \le 3$. Это означает, что разность $m-3$ является неположительным числом ($m-3 \le 0$). По определению модуля, если $a \le 0$, то $|a| = -a$. Следовательно, $|m-3| = -(m-3) = -m + 3 = 3-m$.
Ответ: $3-m$.

3) Применяем свойство корня четной степени: $\sqrt[8]{(y+1)^8} = |y+1|$. По условию $y \ge -1$. Это означает, что сумма $y+1$ является неотрицательным числом ($y+1 \ge 0$). По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Следовательно, $|y+1| = y+1$.
Ответ: $y+1$.

4) Рассмотрим выражение $(x-12)\sqrt[10]{\frac{1024}{(12-x)^{10}}}$. Сначала упростим корень. Заметим, что $1024 = 2^{10}$. $\sqrt[10]{\frac{1024}{(12-x)^{10}}} = \sqrt[10]{\frac{2^{10}}{(12-x)^{10}}} = \sqrt[10]{(\frac{2}{12-x})^{10}}$. Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем: $\sqrt[10]{(\frac{2}{12-x})^{10}} = |\frac{2}{12-x}|$. По условию $x < 12$, следовательно, знаменатель $12-x > 0$. Так как и числитель (2), и знаменатель положительны, вся дробь $\frac{2}{12-x}$ положительна. Значит, модуль можно убрать: $|\frac{2}{12-x}| = \frac{2}{12-x}$. Теперь подставим упрощенный корень обратно в исходное выражение: $(x-12) \cdot \frac{2}{12-x}$. Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе: $x-12 = -(12-x)$. Получаем: $-(12-x) \cdot \frac{2}{12-x}$. Поскольку $x < 12$, то $12-x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(12-x)$: $-1 \cdot 2 = -2$.
Ответ: $-2$.

101. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4}$;

2) $\sqrt[3]{(2-\sqrt{7})^3}$;

3) $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5} + \sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8}.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня $4$ является четным числом, поэтому $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4} = |\sqrt{3}-2|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак подмодульного выражения $\sqrt{3}-2$. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$. Для этого возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Следовательно, разность $\sqrt{3}-2$ отрицательна.
По определению модуля, $|a| = -a$, если $a < 0$. Таким образом, $|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

2) Выражение $\sqrt[3]{(2-\sqrt{7})^3}$ содержит корень нечетной степени. Для корней нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня равен 3, что является нечетным числом.
Следовательно, $\sqrt[3]{(2-\sqrt{7})^3} = 2-\sqrt{7}$.
Ответ: $2 - \sqrt{7}$.

3) Упростим каждое слагаемое в выражении $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5} + \sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8}$ по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5}$. Так как показатель корня (5) является нечетным числом, то $\sqrt[5]{a^5} = a$. Таким образом, $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5} = 8-\sqrt{11}$.
Второе слагаемое: $\sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8}$. Так как показатель корня (8) является четным числом, то $\sqrt[8]{a^8} = |a|$. Таким образом, $\sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8} = |3-\sqrt{11}|$.
Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $3-\sqrt{11}$. Сравним $3$ и $\sqrt{11}$, возведя их в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Поскольку $9 < 11$, то $3 < \sqrt{11}$, и разность $3 - \sqrt{11}$ отрицательна.
Следовательно, $|3-\sqrt{11}| = -(3-\sqrt{11}) = \sqrt{11}-3$.
Теперь сложим упрощенные слагаемые: $(8-\sqrt{11}) + (\sqrt{11}-3) = 8 - \sqrt{11} + \sqrt{11} - 3 = 5$.
Ответ: $5$.

102. Решите уравнение:

1) $\sqrt[6]{(x+16)^6} = 3x$;

2) $\sqrt[8]{(x-6)^8} = x-6$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt[6]{(x+16)^6} = 3x$.
Согласно свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Так как степень корня (6) является четным числом, мы можем упростить левую часть уравнения:
$|x+16| = 3x$.
По определению, абсолютная величина (модуль) числа является неотрицательной. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$3x \ge 0$
$x \ge 0$.
При условии, что $x \ge 0$, выражение под модулем $x+16$ всегда будет положительным, так как $x+16 \ge 0+16=16$. Поэтому, мы можем раскрыть модуль со знаком "плюс":
$x+16 = 3x$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$16 = 3x - x$
$16 = 2x$
$x = \frac{16}{2}$
$x = 8$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=8$ нашему условию $x \ge 0$. Условие выполняется, так как $8 \ge 0$.
Ответ: 8.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[8]{(x-6)^8} = x-6$.
Степень корня (8) является четным числом, поэтому используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$|x-6| = x-6$.
Уравнение вида $|A| = A$ является верным тогда и только тогда, когда выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$.
В данном случае $A = x-6$. Следовательно, уравнение справедливо для всех $x$, удовлетворяющих неравенству:
$x-6 \ge 0$
$x \ge 6$.
Решением уравнения является числовой промежуток.
Ответ: $[6; +\infty)$.

103. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6};$

2) $y = \sqrt[4]{x^4} + 2x;$

3) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3};$

4) $y = \frac{(x-4)^2}{\sqrt[4]{(x-4)^4}} + 2.$

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$

Для упрощения функции воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n=6$, поэтому функция принимает вид:

$y = |x+2|$.

График этой функции — это стандартный график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина графика будет в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x+2=0 \implies x=-2$. Координаты вершины: $(-2, 0)$.

Функцию можно записать в виде кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(x+2), & \text{если } x+2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$

Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-2, 0)$:

• луч $y = x+2$ для всех $x \ge -2$;
• луч $y = -x-2$ для всех $x < -2$.

Ответ: График функции представляет собой два луча, $y=x+2$ при $x \ge -2$ и $y=-x-2$ при $x < -2$, с общей вершиной в точке $(-2, 0)$.

2) $y = \sqrt[4]{x^4} + 2x$

Упростим первое слагаемое, используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n=4$:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Тогда исходная функция принимает вид:

$y = |x| + 2x$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция становится $y = x + 2x = 3x$.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция становится $y = -x + 2x = x$.

Таким образом, мы имеем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из начала координат $(0, 0)$:

• луч $y=3x$ в правой полуплоскости ($x \ge 0$);
• луч $y=x$ в левой полуплоскости ($x < 0$).

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$: луча $y=3x$ для $x \ge 0$ и луча $y=x$ для $x < 0$.

3) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3}$

Сначала найдем область определения функции. Так как корень восьмой степени (четной), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$(x-3)^5 \ge 0 \implies x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
$(x-3)^3 \ge 0 \implies x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [3, +\infty)$.

На этой области определения можно объединить корни:

$y = \sqrt[8]{(x-3)^5 \cdot (x-3)^3} = \sqrt[8]{(x-3)^{5+3}} = \sqrt[8]{(x-3)^8}$.

По свойству $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ получаем:

$y = |x-3|$.

Так как область определения $x \ge 3$, то выражение $x-3$ всегда неотрицательно. Поэтому модуль можно раскрыть: $|x-3| = x-3$.

Итоговая функция: $y = x-3$ при $x \ge 3$.

Графиком является луч прямой $y=x-3$, начинающийся в точке $(3, 0)$ и уходящий вправо-вверх.

Ответ: График функции — это луч прямой $y=x-3$ с началом в точке $(3, 0)$.

4) $y = \frac{(x-4)^2}{\sqrt[4]{(x-4)^4}} + 2$

Найдем область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Упростим знаменатель:

$\sqrt[4]{(x-4)^4} = |x-4|$.

Знаменатель равен нулю, если $|x-4|=0$, то есть $x=4$. Значит, $x=4$ нужно исключить из области определения: $D(y) = (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Теперь упростим саму функцию. Заметим, что $(x-4)^2 = |x-4|^2$.

$y = \frac{|x-4|^2}{|x-4|} + 2 = |x-4| + 2$ (при $x \ne 4$).

График функции $y = |x-4| + 2$ представляет собой график $y=|x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Его вершина находится в точке $(4, 2)$.

Однако, так как $x \ne 4$, точка $(4, 2)$ не принадлежит графику нашей функции. Эта точка является выколотой ("дыркой").

Запишем функцию кусочно:

• При $x > 4$, $|x-4| = x-4$, и функция $y = (x-4) + 2 = x-2$.
• При $x < 4$, $|x-4| = -(x-4)$, и функция $y = -(x-4) + 2 = -x+6$.

График состоит из двух открытых лучей, "встречающихся" в выколотой точке $(4, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: $y = -x+6$ при $x < 4$ и $y = x-2$ при $x > 4$. Точка $(4, 2)$ является выколотой.

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt[3]{3}};$

2) $\frac{14}{\sqrt[4]{8}};$

3) $\frac{24}{\sqrt[5]{8}};$

4) $\frac{m^3}{\sqrt[7]{m^4}}.$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{6}{\sqrt[3]{3}} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе исчез корень. В данном случае, чтобы подкоренное выражение стало кубом, нужно домножить на $ \sqrt[3]{3^2} $.

$ \frac{6}{\sqrt[3]{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{6\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6\sqrt[3]{9}}{3} = 2\sqrt[3]{9} $.

Ответ: $ 2\sqrt[3]{9} $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{14}{\sqrt[4]{8}} $, сначала представим $ 8 $ как $ 2^3 $. Получим $ \frac{14}{\sqrt[4]{2^3}} $. Чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало четвертой степенью, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{2^{4-3}} = \sqrt[4]{2} $.

$ \frac{14}{\sqrt[4]{8}} = \frac{14}{\sqrt[4]{2^3}} = \frac{14 \cdot \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^3} \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{14\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{14\sqrt[4]{2}}{2} = 7\sqrt[4]{2} $.

Ответ: $ 7\sqrt[4]{2} $.

3) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{24}{\sqrt[5]{8}} $, представим $ 8 $ как $ 2^3 $. Получим $ \frac{24}{\sqrt[5]{2^3}} $. Чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало пятой степенью, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-3}} = \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $.

$ \frac{24}{\sqrt[5]{8}} = \frac{24}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{24 \cdot \sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{24\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{24\sqrt[5]{4}}{2} = 12\sqrt[5]{4} $.

Ответ: $ 12\sqrt[5]{4} $.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{m^3}{\sqrt[7]{m^4}} $ (при $ m > 0 $), нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{m^{7-4}} = \sqrt[7]{m^3} $, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало седьмой степенью.

$ \frac{m^3}{\sqrt[7]{m^4}} = \frac{m^3 \cdot \sqrt[7]{m^3}}{\sqrt[7]{m^4} \cdot \sqrt[7]{m^3}} = \frac{m^3\sqrt[7]{m^3}}{\sqrt[7]{m^{4+3}}} = \frac{m^3\sqrt[7]{m^3}}{\sqrt[7]{m^7}} = \frac{m^3\sqrt[7]{m^3}}{m} = m^2\sqrt[7]{m^3} $.

Ответ: $ m^2\sqrt[7]{m^3} $.

105. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}$;

2) $\frac{\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{a} - 1}{\sqrt[6]{a} + 1}$;

4) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[4]{a}}{a - \sqrt[4]{a^3}}$;

5) $\frac{\sqrt[6]{9a} - \sqrt[6]{3a^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{3}}$;

6) $\frac{x + 8}{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$;

7) $\frac{x - \sqrt{6x + 6}}{x\sqrt{x} + 6\sqrt{6}}$.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y} $, представим знаменатель в виде разности квадратов.
Так как $ x = (\sqrt{x})^2 $ и $ y = (\sqrt{y})^2 $, то знаменатель можно записать как $ x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 $.
Используя формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $, получаем:
$ x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Сокращаем общий множитель $ (\sqrt{x}-\sqrt{y}) $ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $.
Заметим, что $ \sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2 $ и $ \sqrt[4]{y} = (\sqrt[8]{y})^2 $.
Следовательно, знаменатель является разностью квадратов:
$ \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y} = (\sqrt[8]{x})^2 - (\sqrt[8]{y})^2 = (\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y})(\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}) $.
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y}}{(\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y})(\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y})} $.
Сократив общий множитель $ (\sqrt[8]{x}-\sqrt[8]{y}) $, получаем:
$ \frac{1}{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}} $.

3) В дроби $ \frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[6]{a}+1} $ представим числитель через корень шестой степени.
Так как $ \sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2 $, числитель можно записать как $ (\sqrt[6]{a})^2 - 1^2 $.
Применим формулу разности квадратов:
$ \sqrt[3]{a}-1 = (\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)}{\sqrt[6]{a}+1} $.
Сокращаем общий множитель $ (\sqrt[6]{a}+1) $:
$ \sqrt[6]{a}-1 $.
Ответ: $ \sqrt[6]{a}-1 $.

4) Для сокращения дроби $ \frac{\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}}{a-\sqrt[4]{a^3}} $ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $ \sqrt{a}-\sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^2 - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}-1) $.
В знаменателе: $ a-\sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^4 - (\sqrt[4]{a})^3 = \sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a}-1) $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}-1)}{\sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a}-1)} $.
Сократим общий множитель $ (\sqrt[4]{a}-1) $:
$ \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{a}{a^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{a^2}} = \sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a}} $.

5) Рассмотрим дробь $ \frac{\sqrt[6]{9a}-\sqrt[6]{3a^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{3}} $.
Вынесем общий множитель $ \sqrt[6]{3a} $ в числителе:
$ \sqrt[6]{9a}-\sqrt[6]{3a^2} = \sqrt[6]{3 \cdot 3a} - \sqrt[6]{a \cdot 3a} = \sqrt[6]{3}\sqrt[6]{3a} - \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{3a} = \sqrt[6]{3a}(\sqrt[6]{3}-\sqrt[6]{a}) $.
Представим знаменатель как разность квадратов:
$ \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{3} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{3})^2 = (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}) $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{\sqrt[6]{3a}(\sqrt[6]{3}-\sqrt[6]{a})}{(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3})} $.
Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе: $ \sqrt[6]{3}-\sqrt[6]{a} = -(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3}) $.
$ \frac{-\sqrt[6]{3a}(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})}{(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3})} $.
Сократим общий множитель $ (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{3}) $:
$ \frac{-\sqrt[6]{3a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt[6]{3a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{3}} $.

6) Рассмотрим дробь $ \frac{x+8}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4} $.
Числитель $ x+8 $ можно представить как сумму кубов: $ x+8 = (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3 $.
Используем формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3 = (\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 2^2) = (\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4} $.
Сокращаем общий множитель $ (\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4) $.
Получаем: $ \sqrt[3]{x}+2 $.
Ответ: $ \sqrt[3]{x}+2 $.

7) Рассмотрим дробь $ \frac{x-\sqrt{6x}+6}{x\sqrt{x}+6\sqrt{6}} $.
Знаменатель $ x\sqrt{x}+6\sqrt{6} $ можно представить как сумму кубов.
$ x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 $ и $ 6\sqrt{6} = (\sqrt{6})^3 $.
Тогда знаменатель равен $ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{6})^3 $.
Применим формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{6})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{6})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{6})(x-\sqrt{6x}+6) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{x-\sqrt{6x}+6}{(\sqrt{x}+\sqrt{6})(x-\sqrt{6x}+6)} $.
Сокращаем общий множитель $ (x-\sqrt{6x}+6) $.
Получаем: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{6}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{6}} $.