Страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Представьте выражение $ \sqrt[6]{c} $ в виде корня:

1) двенадцатой степени;

2) сорок второй степени;

3) девяностой степени.

Для преобразования корня одной степени в корень другой степени используется основное свойство корня: для любого натурального числа $n \ge 2$, любого натурального числа $k$ и любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.

Это свойство позволяет умножить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на одно и то же натуральное число. Исходное выражение: $\sqrt[6]{c} = \sqrt[6]{c^1}$.

1) двенадцатой степени

Требуется представить выражение $\sqrt[6]{c}$ в виде корня двенадцатой степени. Новый показатель корня должен быть равен 12. Для этого нужно исходный показатель 6 умножить на некоторое число $k$. Найдем это число: $12 = 6 \cdot k$, откуда $k = 12 / 6 = 2$.
Теперь, согласно свойству, нужно не только умножить показатель корня на 2, но и возвести подкоренное выражение в степень 2.
$\sqrt[6]{c} = \sqrt[6 \cdot 2]{c^{1 \cdot 2}} = \sqrt[12]{c^2}$.
Ответ: $\sqrt[12]{c^2}$.

2) сорок второй степени

Требуется представить выражение $\sqrt[6]{c}$ в виде корня сорок второй степени. Новый показатель корня должен быть равен 42. Найдем число $k$: $42 = 6 \cdot k$, откуда $k = 42 / 6 = 7$.
Умножим показатель корня на 7 и возведем подкоренное выражение в степень 7.
$\sqrt[6]{c} = \sqrt[6 \cdot 7]{c^{1 \cdot 7}} = \sqrt[42]{c^7}$.
Ответ: $\sqrt[42]{c^7}$.

3) девяностой степени

Требуется представить выражение $\sqrt[6]{c}$ в виде корня девяностой степени. Новый показатель корня должен быть равен 90. Найдем число $k$: $90 = 6 \cdot k$, откуда $k = 90 / 6 = 15$.
Умножим показатель корня на 15 и возведем подкоренное выражение в степень 15.
$\sqrt[6]{c} = \sqrt[6 \cdot 15]{c^{1 \cdot 15}} = \sqrt[90]{c^{15}}$.
Ответ: $\sqrt[90]{c^{15}}$.

91. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{54}$;

2) $\sqrt[5]{96}$;

3) $\sqrt[4]{405}$.

Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня $\sqrt[3]{54}$, необходимо разложить подкоренное число 54 на множители, один из которых является точным кубом (третьей степенью) целого числа.
Разложим 54 на простые множители:
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.
Множитель 27 является кубом числа 3 ($27 = 3^3$). Используя свойство корня из произведения ($\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$), получаем:
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

Для выражения $\sqrt[5]{96}$ необходимо разложить число 96 на множители, один из которых является точной пятой степенью целого числа.
Разложим 96 на простые множители:
$96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^3 \cdot (8 \cdot 3) = 2^3 \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^5 \cdot 3$.
Множитель $2^5 = 32$ является пятой степенью числа 2. Вынесем его из-под знака корня:
$\sqrt[5]{96} = \sqrt[5]{32 \cdot 3} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3} = 2\sqrt[5]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[5]{3}$

В выражении $\sqrt[4]{405}$ разложим подкоренное число 405 на множители, один из которых будет точной четвертой степенью целого числа.
Разложим 405 на простые множители. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5:
$405 = 5 \cdot 81$.
Множитель 81 является четвертой степенью числа 3 ($81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$).
Вынесем его из-под знака корня:
$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{81 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$.

Ответ: $3\sqrt[4]{5}$

92. Внесите множитель под знак корня:

1) $4\sqrt{3}$;

2) $2\sqrt[3]{5}$;

3) $10\sqrt[4]{0,312}$;

4) $0,1\sqrt[5]{450}$;

5) $\frac{2}{3}\sqrt{135}$.

1) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение. В данном случае показатель корня равен 2 (квадратный корень).

$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3}$

Выполним вычисления под знаком корня:

$4^2 = 16$

$\sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$

Ответ: $\sqrt{48}$

2) Вносим множитель 2 под знак кубического корня (показатель корня равен 3). Для этого возводим 2 в третью степень.

$2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5}$

Выполним вычисления под знаком корня:

$2^3 = 8$

$\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$

Ответ: $\sqrt[3]{40}$

3) Вносим множитель 10 под знак корня четвертой степени (показатель корня равен 4). Для этого возводим 10 в четвертую степень.

$10\sqrt[4]{0,312} = \sqrt[4]{10^4 \cdot 0,312}$

Выполним вычисления под знаком корня:

$10^4 = 10000$

$\sqrt[4]{10000 \cdot 0,312} = \sqrt[4]{3120}$

Ответ: $\sqrt[4]{3120}$

4) Вносим множитель 0,1 под знак корня пятой степени (показатель корня равен 5). Для этого возводим 0,1 в пятую степень.

$0,1\sqrt[5]{450} = \sqrt[5]{(0,1)^5 \cdot 450}$

Выполним вычисления под знаком корня:

$(0,1)^5 = 0,00001$

$\sqrt[5]{0,00001 \cdot 450} = \sqrt[5]{0,0045}$

Ответ: $\sqrt[5]{0,0045}$

5) Вносим множитель $\frac{2}{3}$ под знак кубического корня (показатель корня равен 3). Для этого возводим дробь $\frac{2}{3}$ в третью степень.

$\frac{2}{3}\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{(\frac{2}{3})^3 \cdot 135}$

Выполним вычисления под знаком корня:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

$\sqrt[3]{\frac{8}{27} \cdot 135} = \sqrt[3]{8 \cdot \frac{135}{27}}$

Разделим 135 на 27: $135 \div 27 = 5$.

$\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$

Ответ: $\sqrt[3]{40}$

93. Упростите выражение:

1) $7\sqrt[8]{b} - 2\sqrt[8]{b} + 8\sqrt[8]{b};$

2) $-4\sqrt[5]{12} + \sqrt[5]{-5} - 8\sqrt[5]{-12} - 9\sqrt[5]{5}.$

1) $7\sqrt[8]{b} - 2\sqrt[8]{b} + 8\sqrt[8]{b}$

Все слагаемые в данном выражении являются подобными, так как у них одинаковая корневая часть $\sqrt[8]{b}$. Чтобы упростить выражение, нужно выполнить действия с коэффициентами перед корнем, а саму корневую часть оставить без изменений.

Вынесем общий множитель $\sqrt[8]{b}$ за скобки:

$7\sqrt[8]{b} - 2\sqrt[8]{b} + 8\sqrt[8]{b} = (7 - 2 + 8)\sqrt[8]{b}$

Теперь вычислим значение в скобках:

$7 - 2 = 5$

$5 + 8 = 13$

Следовательно, упрощенное выражение равно:

$13\sqrt[8]{b}$

Ответ: $13\sqrt[8]{b}$

2) $-4\sqrt[5]{12} + 5\sqrt[5]{-5} - 8\sqrt[5]{-12} - 9\sqrt[5]{5}$

Сначала упростим слагаемые, содержащие корень из отрицательного числа. Поскольку степень корня (5) нечетная, мы можем вынести знак минус из-под корня, используя свойство $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для нечетных $n$.

$\sqrt[5]{-5} = -\sqrt[5]{5}$

$\sqrt[5]{-12} = -\sqrt[5]{12}$

Подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$-4\sqrt[5]{12} + 5(-\sqrt[5]{5}) - 8(-\sqrt[5]{12}) - 9\sqrt[5]{5} = -4\sqrt[5]{12} - 5\sqrt[5]{5} + 8\sqrt[5]{12} - 9\sqrt[5]{5}$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковыми подкоренными выражениями.

Группа с $\sqrt[5]{12}$: $-4\sqrt[5]{12}$ и $8\sqrt[5]{12}$.

Группа с $\sqrt[5]{5}$: $-5\sqrt[5]{5}$ и $-9\sqrt[5]{5}$.

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$(-4\sqrt[5]{12} + 8\sqrt[5]{12}) + (-5\sqrt[5]{5} - 9\sqrt[5]{5}) = (-4 + 8)\sqrt[5]{12} + (-5 - 9)\sqrt[5]{5}$

Выполним вычисления:

$-4 + 8 = 4$

$-5 - 9 = -14$

Таким образом, получаем упрощенное выражение:

$4\sqrt[5]{12} - 14\sqrt[5]{5}$

Ответ: $4\sqrt[5]{12} - 14\sqrt[5]{5}$

94. Упростите выражение:

1) $3\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{-135} - 2\sqrt[3]{320};$

2) $2\sqrt[4]{48m} - 4\sqrt[4]{1250m} - 4\sqrt[4]{768m} + 3\sqrt[4]{32m}.$

1) $3\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{-135} - 2\sqrt[3]{320}$

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

1. Разложим число 40 на множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$.

2. Разложим число -135: $-135 = -27 \cdot 5 = (-3)^3 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-135} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 5} = -3\sqrt[3]{5}$.

3. Разложим число 320: $320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$3\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{-135} - 2\sqrt[3]{320} = 3 \cdot (2\sqrt[3]{5}) - (-3\sqrt[3]{5}) - 2 \cdot (4\sqrt[3]{5})$

Выполним умножение и упростим знаки:

$6\sqrt[3]{5} + 3\sqrt[3]{5} - 8\sqrt[3]{5}$

Все слагаемые содержат одинаковый радикал $\sqrt[3]{5}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(6 + 3 - 8)\sqrt[3]{5} = 1 \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}$.

2) $2\sqrt[4]{48m} - 4\sqrt[4]{1250m} - 4\sqrt[4]{768m} + 3\sqrt[4]{32m}$

Для упрощения вынесем множители из-под знака корня четвертой степени. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, один из которых является точной четвертой степенью.

1. Разложим 48: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[4]{48m} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3m} = 2\sqrt[4]{3m}$.

2. Разложим 1250: $1250 = 625 \cdot 2 = 5^4 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt[4]{1250m} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2m} = 5\sqrt[4]{2m}$.

3. Разложим 768: $768 = 256 \cdot 3 = 4^4 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[4]{768m} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 3m} = 4\sqrt[4]{3m}$.

4. Разложим 32: $32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$.
Следовательно, $\sqrt[4]{32m} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2m} = 2\sqrt[4]{2m}$.

Подставим упрощенные корни в исходное выражение:

$2 \cdot (2\sqrt[4]{3m}) - 4 \cdot (5\sqrt[4]{2m}) - 4 \cdot (4\sqrt[4]{3m}) + 3 \cdot (2\sqrt[4]{2m})$

Выполним умножение:

$4\sqrt[4]{3m} - 20\sqrt[4]{2m} - 16\sqrt[4]{3m} + 6\sqrt[4]{2m}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми радикалами):

$(4\sqrt[4]{3m} - 16\sqrt[4]{3m}) + (-20\sqrt[4]{2m} + 6\sqrt[4]{2m})$

$(4-16)\sqrt[4]{3m} + (-20+6)\sqrt[4]{2m} = -12\sqrt[4]{3m} - 14\sqrt[4]{2m}$.

Ответ: $-12\sqrt[4]{3m} - 14\sqrt[4]{2m}$.

95. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$;

2) $\sqrt[7]{a^3\sqrt{a}}$;

3) $\sqrt[8]{c^5\sqrt[5]{c^3}}$;

4) $\sqrt[9]{p^5\sqrt[4]{p^7}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$, внесем множитель 2 под внутренний корень. Для этого необходимо возвести 2 в степень, равную показателю внутреннего корня, то есть в 6-ю степень.
$\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^6 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{64 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{192}}$
Далее используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$, чтобы объединить корни:
$\sqrt[4 \cdot 6]{192} = \sqrt[24]{192}$
Ответ: $\sqrt[24]{192}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[7]{a^3\sqrt{a}}$ воспользуемся свойством степеней с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Запишем внутренний корень $\sqrt{a}$ как $a^{1/2}$.
$\sqrt[7]{a^3\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a^3 \cdot a^{1/2}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$a^3 \cdot a^{1/2} = a^{3 + 1/2} = a^{7/2}$
Теперь извлечем корень 7-й степени, что эквивалентно возведению в степень 1/7:
$\sqrt[7]{a^{7/2}} = (a^{7/2})^{1/7}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$a^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} = a^{1/2} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

3) Чтобы упростить выражение $\sqrt[8]{c\sqrt[5]{c^3}}$, внесем множитель $c$ под внутренний корень пятой степени. Для этого возведем $c$ в 5-ю степень.
$\sqrt[8]{c\sqrt[5]{c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^5 \cdot c^3}}$
Сложим показатели степеней под внутренним корнем:
$\sqrt[8]{\sqrt[5]{c^{5+3}}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^8}}$
Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$, перемножим показатели корней:
$\sqrt[8 \cdot 5]{c^8} = \sqrt[40]{c^8}$
Теперь можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$\sqrt[40/8]{c^{8/8}} = \sqrt[5]{c^1} = \sqrt[5]{c}$
Ответ: $\sqrt[5]{c}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[9]{p^5\sqrt[4]{p^7}}$ представим его с помощью дробных показателей.
$\sqrt[9]{p^5\sqrt[4]{p^7}} = (p^5 \cdot p^{7/4})^{1/9}$
Сначала упростим выражение в скобках, сложив показатели степеней:
$p^5 \cdot p^{7/4} = p^{5 + 7/4} = p^{20/4 + 7/4} = p^{27/4}$
Теперь возведем полученное выражение в степень 1/9:
$(p^{27/4})^{1/9} = p^{\frac{27}{4} \cdot \frac{1}{9}} = p^{\frac{27}{36}}$
Сократим дробь в показателе степени на 9:
$p^{27/36} = p^{3/4}$
Запишем результат в виде корня:
$p^{3/4} = \sqrt[4]{p^3}$
Ответ: $\sqrt[4]{p^3}$

96. Представьте в виде корня выражение:

1) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3};$

2) $\sqrt[6]{m} \cdot \sqrt[9]{n};$

3) $\frac{\sqrt[3]{m^2}}{\sqrt[9]{n^4}};$

4) $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}};$

5) $\sqrt[4]{m\sqrt[7]{m}} \cdot \sqrt[7]{m^4}.$

1) Чтобы представить произведение корней с разными показателями в виде одного корня, необходимо привести их к общему показателю. Для $\sqrt{3}$ показатель корня равен 2, для $\sqrt[3]{3}$ — 3. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6. Приведем каждый корень к показателю 6, домножив показатель корня и степень подкоренного выражения на одно и то же число.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$

Теперь, когда показатели корней одинаковы, можно перемножить подкоренные выражения:

$\sqrt[6]{27} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{27 \cdot 9} = \sqrt[6]{243}$

Ответ: $\sqrt[6]{243}$

2) Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 6 и 9. Наименьшее общее кратное для 6 и 9 равно 18. Приведем каждый корень к показателю 18.

$\sqrt[6]{m} = \sqrt[6 \cdot 3]{m^{1 \cdot 3}} = \sqrt[18]{m^3}$

$\sqrt[9]{n} = \sqrt[9 \cdot 2]{n^{1 \cdot 2}} = \sqrt[18]{n^2}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\sqrt[18]{m^3} \cdot \sqrt[18]{n^2} = \sqrt[18]{m^3 n^2}$

Ответ: $\sqrt[18]{m^3 n^2}$

3) Чтобы представить частное в виде одного корня, приведем корни в числителе и знаменателе к общему показателю. Показатели корней равны 3 и 9. Наименьшее общее кратное для 3 и 9 равно 9. Приведем корень в числителе к показателю 9.

$\sqrt[3]{m^2} = \sqrt[3 \cdot 3]{(m^2)^3} = \sqrt[9]{m^{2 \cdot 3}} = \sqrt[9]{m^6}$

Знаменатель уже имеет показатель 9: $\sqrt[9]{n^4}$. Теперь можно записать все под одним корнем:

$\frac{\sqrt[9]{m^6}}{\sqrt[9]{n^4}} = \sqrt[9]{\frac{m^6}{n^4}}$

Ответ: $\sqrt[9]{\frac{m^6}{n^4}}$

4) Сначала упростим знаменатель, приведя корни к общему показателю. Для $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{2}$ наименьшее общее кратное показателей 2 и 3 равно 6.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{3^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{27} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{27 \cdot 4} = \sqrt[6]{108}$

Исходное выражение теперь имеет вид $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[6]{108}}$.

Приведем числитель и знаменатель к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[12]{216}$

$\sqrt[6]{108} = \sqrt[6 \cdot 2]{108^2} = \sqrt[12]{11664}$

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt[12]{216}}{\sqrt[12]{11664}} = \sqrt[12]{\frac{216}{11664}} = \sqrt[12]{\frac{1}{54}}$

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{54}}$

5) Упростим первый множитель $\sqrt[4]{m \sqrt[7]{m}}$. Для этого внесем $m$ под внутренний корень седьмой степени.

$\sqrt[4]{m \sqrt[7]{m}} = \sqrt[4]{\sqrt[7]{m^7} \cdot \sqrt[7]{m}} = \sqrt[4]{\sqrt[7]{m^7 \cdot m}} = \sqrt[4]{\sqrt[7]{m^8}}$

По свойству "корень из корня" ($\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$), перемножим показатели корней:

$\sqrt[4 \cdot 7]{m^8} = \sqrt[28]{m^8}$

Сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на их общий делитель 4:

$\sqrt[28/4]{m^{8/4}} = \sqrt[7]{m^2}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель $\sqrt[7]{m^4}$:

$\sqrt[7]{m^2} \cdot \sqrt[7]{m^4} = \sqrt[7]{m^2 \cdot m^4} = \sqrt[7]{m^{2+4}} = \sqrt[7]{m^6}$

Ответ: $\sqrt[7]{m^6}$

97. Сравните:

1) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$;

2) $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$;

3) $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 4 и 3 равно 12.
Приведем первое число к корню 12-й степени:
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$.
Приведем второе число к корню 12-й степени:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $343$ и $625$.
Так как $343 < 625$, то $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{625}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 4 и 6 равно 12.
Приведем первое число к корню 12-й степени:
$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[12]{216}$.
Приведем второе число к корню 12-й степени:
$\sqrt[6]{15} = \sqrt[6 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[12]{225}$.
Сравним подкоренные выражения: $216$ и $225$.
Так как $216 < 225$, то $\sqrt[12]{216} < \sqrt[12]{225}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.

3) Чтобы сравнить числа $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$, сначала упростим второе выражение.
Внесем множитель $6$ под знак внутреннего корня:
$6\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{216 \cdot 3} = \sqrt[3]{648}$.
Теперь второе выражение выглядит так:
$\sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{648}} = \sqrt[8 \cdot 3]{648} = \sqrt[24]{648}$.
Теперь нужно сравнить $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[24]{648}$. Приведем их к общему показателю корня, который равен 24.
$\sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[24]{625}$.
Сравним подкоренные выражения: $625$ и $648$.
Так как $625 < 648$, то $\sqrt[24]{625} < \sqrt[24]{648}$.
Следовательно, $\sqrt[6]{5} < \sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{5} < \sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$.

98. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[10]{25 - x^2} = \sqrt[10]{5 - x} \cdot \sqrt[10]{5 + x};$

2) $\sqrt[8]{(x - 8)(x - 10)} = \sqrt[8]{8 - x} \cdot \sqrt[8]{10 - x};$

3) $\sqrt[5]{(x + 8)(x - 7)} = \sqrt[5]{x + 8} \cdot \sqrt[5]{x - 7}?$

1)

Данное равенство $\sqrt[10]{25 - x^2} = \sqrt[10]{5 - x} \cdot \sqrt[10]{5 + x}$ основано на свойстве корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Поскольку показатель корня $n=10$ является четным числом, это свойство выполняется только при условии, что подкоренные выражения множителей в правой части неотрицательны.
Следовательно, должны одновременно выполняться два условия:

1) $5 - x \geq 0$
2) $5 + x \geq 0$

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} 5 - x \geq 0 \\ 5 + x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 5 \\ x \geq -5 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является промежуток $[-5, 5]$.
При этих значениях $x$ подкоренное выражение в левой части, $25 - x^2 = (5-x)(5+x)$, также будет неотрицательным, поэтому левая часть равенства определена.
Таким образом, равенство выполняется при $x \in [-5, 5]$.

Ответ: $x \in [-5, 5]$.

2)

Рассмотрим равенство $\sqrt[8]{(x - 8)(x - 10)} = \sqrt[8]{8 - x} \cdot \sqrt[8]{10 - x}$.
Заметим, что подкоренное выражение в левой части можно преобразовать: $(x - 8)(x - 10) = (-(8 - x)) \cdot (-(10 - x)) = (8 - x)(10 - x)$.
Таким образом, исходное равенство эквивалентно $\sqrt[8]{(8 - x)(10 - x)} = \sqrt[8]{8 - x} \cdot \sqrt[8]{10 - x}$.

Это равенство является применением свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для $n=8$.
Так как показатель корня $n=8$ — четное число, равенство справедливо только тогда, когда подкоренные выражения в правой части неотрицательны:

1) $8 - x \geq 0$
2) $10 - x \geq 0$

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 8 - x \geq 0 \\ 10 - x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 8 \\ x \leq 10 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x \leq 8$.
При $x \leq 8$ оба множителя $(8-x)$ и $(10-x)$ неотрицательны, поэтому их произведение $(x-8)(x-10)$ также неотрицательно, и левая часть равенства определена.
Следовательно, равенство выполняется при $x \leq 8$.

Ответ: $x \in (-\infty, 8]$.

3)

Равенство $\sqrt[5]{(x + 8)(x - 7)} = \sqrt[5]{x + 8} \cdot \sqrt[5]{x - 7}$ использует свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Показатель корня $n=5$ является нечетным числом.
Для корней нечетной степени свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ выполняется для любых действительных чисел $a$ и $b$, для которых выражения имеют смысл.

Подкоренные выражения являются многочленами, которые определены для всех действительных значений $x$.
Следовательно, и левая, и правая части равенства определены при любом $x \in \mathbb{R}$.
Таким образом, равенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

99. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[4]{a^4} $, если $a \ge 0;$

2) $ \sqrt[6]{b^6} $, если $b \le 0;$

3) $ \sqrt[5]{x^5} ;$

4) $ \sqrt[3]{343m^6n^9} ;$

5) $ \sqrt[4]{16x^8y^4z^{12}} $, если $y \ge 0, z \le 0;$

6) $ 3,5x\sqrt[8]{256x^{24}} $, если $x \le 0;$

7) $ \frac{\sqrt[10]{a^{10}b^{20}c^{30}}}{a^2b^3c^4} $, если $a < 0, c < 0;$

8) $ -0,2a^3 \cdot \sqrt[4]{625a^{16}b^{36}} $, если $b \le 0.$

1) Для корня четной степени справедливо тождество $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Применяя это свойство к выражению $\sqrt[4]{a^4}$, получаем $|a|$. По условию дано, что $a \ge 0$, следовательно, модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|a| = a$. Ответ: $a$.

2) Как и в предыдущем примере, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Для выражения $\sqrt[6]{b^6}$ получаем $|b|$. По условию дано, что $b \le 0$, следовательно, модуль неположительного числа равен противоположному ему числу: $|b| = -b$. Ответ: $-b$.

3) Для корня нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, $\sqrt[5]{x^5} = x$. Ответ: $x$.

4) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \cdot \sqrt[n]{z}$. $\sqrt[3]{343m^6n^9} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{m^6} \cdot \sqrt[3]{n^9}$. Вычисляем каждый множитель: $\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$. $\sqrt[3]{m^6} = \sqrt[3]{(m^2)^3} = m^2$. $\sqrt[3]{n^9} = \sqrt[3]{(n^3)^3} = n^3$. Перемножаем полученные результаты: $7 \cdot m^2 \cdot n^3 = 7m^2n^3$. Ответ: $7m^2n^3$.

5) Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем корень четвертой степени из каждого: $\sqrt[4]{16x^8y^4z^{12}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 \cdot (z^3)^4} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{(z^3)^4}$. При извлечении корня четной степени используем модуль: $\sqrt[4]{2^4} = 2$. $\sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2$ (так как $x^2$ всегда неотрицательно). $\sqrt[4]{y^4} = |y|$. По условию $y \ge 0$, значит $|y|=y$. $\sqrt[4]{(z^3)^4} = |z^3|$. По условию $z \le 0$, значит $z^3 \le 0$, и $|z^3| = -z^3$. Собираем все вместе: $2 \cdot x^2 \cdot y \cdot (-z^3) = -2x^2yz^3$. Ответ: $-2x^2yz^3$.

6) Сначала упростим корень восьмой степени: $\sqrt[8]{256x^{24}} = \sqrt[8]{2^8 \cdot (x^3)^8} = \sqrt[8]{2^8} \cdot \sqrt[8]{(x^3)^8} = 2 \cdot |x^3|$. По условию $x \le 0$, следовательно $x^3 \le 0$, и $|x^3| = -x^3$. Таким образом, $\sqrt[8]{256x^{24}} = 2(-x^3) = -2x^3$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $3,5x \cdot (-2x^3) = -7x^{1+3} = -7x^4$. Ответ: $-7x^4$.

7) Сначала упростим числитель дроби: $\sqrt[10]{a^{10}b^{20}c^{30}} = \sqrt[10]{a^{10} \cdot (b^2)^{10} \cdot (c^3)^{10}} = |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3|$. Раскроем модули с учетом условий $a < 0$ и $c < 0$: $|a| = -a$. $|b^2| = b^2$ (так как $b^2$ всегда неотрицательно). $|c^3| = -c^3$ (так как при $c < 0$, $c^3 < 0$). Числитель равен $(-a) \cdot b^2 \cdot (-c^3) = ab^2c^3$. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{ab^2c^3}{a^2b^3c^4} = a^{1-2}b^{2-3}c^{3-4} = a^{-1}b^{-1}c^{-1} = \frac{1}{abc}$. Ответ: $\frac{1}{abc}$.

8) Упростим выражение под корнем четвертой степени: $\sqrt[4]{625a^{16}b^{36}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (a^4)^4 \cdot (b^9)^4} = |5| \cdot |a^4| \cdot |b^9|$. Раскроем модули: $|5| = 5$. $|a^4| = a^4$ (так как $a^4$ всегда неотрицательно). $|b^9|$. По условию $b \le 0$, значит $b^9 \le 0$, следовательно $|b^9| = -b^9$. Выражение под корнем равно $5a^4(-b^9) = -5a^4b^9$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,2a^3 \cdot (-5a^4b^9) = (-0,2 \cdot -5) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot b^9 = 1 \cdot a^{3+4} \cdot b^9 = a^7b^9$. Ответ: $a^7b^9$.