Номер 95, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$;

2) $\sqrt[7]{a^3\sqrt{a}}$;

3) $\sqrt[8]{c^5\sqrt[5]{c^3}}$;

4) $\sqrt[9]{p^5\sqrt[4]{p^7}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}}$, внесем множитель 2 под внутренний корень. Для этого необходимо возвести 2 в степень, равную показателю внутреннего корня, то есть в 6-ю степень.
$\sqrt[4]{2\sqrt[6]{3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^6 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{64 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{192}}$
Далее используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$, чтобы объединить корни:
$\sqrt[4 \cdot 6]{192} = \sqrt[24]{192}$
Ответ: $\sqrt[24]{192}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[7]{a^3\sqrt{a}}$ воспользуемся свойством степеней с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Запишем внутренний корень $\sqrt{a}$ как $a^{1/2}$.
$\sqrt[7]{a^3\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a^3 \cdot a^{1/2}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$a^3 \cdot a^{1/2} = a^{3 + 1/2} = a^{7/2}$
Теперь извлечем корень 7-й степени, что эквивалентно возведению в степень 1/7:
$\sqrt[7]{a^{7/2}} = (a^{7/2})^{1/7}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$a^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} = a^{1/2} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

3) Чтобы упростить выражение $\sqrt[8]{c\sqrt[5]{c^3}}$, внесем множитель $c$ под внутренний корень пятой степени. Для этого возведем $c$ в 5-ю степень.
$\sqrt[8]{c\sqrt[5]{c^3}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^5 \cdot c^3}}$
Сложим показатели степеней под внутренним корнем:
$\sqrt[8]{\sqrt[5]{c^{5+3}}} = \sqrt[8]{\sqrt[5]{c^8}}$
Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$, перемножим показатели корней:
$\sqrt[8 \cdot 5]{c^8} = \sqrt[40]{c^8}$
Теперь можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$\sqrt[40/8]{c^{8/8}} = \sqrt[5]{c^1} = \sqrt[5]{c}$
Ответ: $\sqrt[5]{c}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[9]{p^5\sqrt[4]{p^7}}$ представим его с помощью дробных показателей.
$\sqrt[9]{p^5\sqrt[4]{p^7}} = (p^5 \cdot p^{7/4})^{1/9}$
Сначала упростим выражение в скобках, сложив показатели степеней:
$p^5 \cdot p^{7/4} = p^{5 + 7/4} = p^{20/4 + 7/4} = p^{27/4}$
Теперь возведем полученное выражение в степень 1/9:
$(p^{27/4})^{1/9} = p^{\frac{27}{4} \cdot \frac{1}{9}} = p^{\frac{27}{36}}$
Сократим дробь в показателе степени на 9:
$p^{27/36} = p^{3/4}$
Запишем результат в виде корня:
$p^{3/4} = \sqrt[4]{p^3}$
Ответ: $\sqrt[4]{p^3}$