Номер 100, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[4]{(5-x)^4}; $

2) $ \sqrt[6]{(m-3)^6}, $ если $m \le 3;$

3) $ \sqrt[8]{(y+1)^8}, $ если $y \ge -1;$

4) $ (x-12) \sqrt[10]{\frac{1024}{(12-x)^{10}}}, $ если $x < 12.$

1) Для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ выполняется тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Это означает, что корень четной степени из выражения в той же четной степени равен модулю этого выражения. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[4]{(5-x)^4} = |5-x|$. Так как нет дополнительных условий на переменную $x$, это и есть окончательный упрощенный вид.
Ответ: $|5-x|$.

2) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[6]{(m-3)^6} = |m-3|$. По условию дано, что $m \le 3$. Это означает, что разность $m-3$ является неположительным числом ($m-3 \le 0$). По определению модуля, если $a \le 0$, то $|a| = -a$. Следовательно, $|m-3| = -(m-3) = -m + 3 = 3-m$.
Ответ: $3-m$.

3) Применяем свойство корня четной степени: $\sqrt[8]{(y+1)^8} = |y+1|$. По условию $y \ge -1$. Это означает, что сумма $y+1$ является неотрицательным числом ($y+1 \ge 0$). По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Следовательно, $|y+1| = y+1$.
Ответ: $y+1$.

4) Рассмотрим выражение $(x-12)\sqrt[10]{\frac{1024}{(12-x)^{10}}}$. Сначала упростим корень. Заметим, что $1024 = 2^{10}$. $\sqrt[10]{\frac{1024}{(12-x)^{10}}} = \sqrt[10]{\frac{2^{10}}{(12-x)^{10}}} = \sqrt[10]{(\frac{2}{12-x})^{10}}$. Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем: $\sqrt[10]{(\frac{2}{12-x})^{10}} = |\frac{2}{12-x}|$. По условию $x < 12$, следовательно, знаменатель $12-x > 0$. Так как и числитель (2), и знаменатель положительны, вся дробь $\frac{2}{12-x}$ положительна. Значит, модуль можно убрать: $|\frac{2}{12-x}| = \frac{2}{12-x}$. Теперь подставим упрощенный корень обратно в исходное выражение: $(x-12) \cdot \frac{2}{12-x}$. Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе: $x-12 = -(12-x)$. Получаем: $-(12-x) \cdot \frac{2}{12-x}$. Поскольку $x < 12$, то $12-x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(12-x)$: $-1 \cdot 2 = -2$.
Ответ: $-2$.