Номер 107, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{8a^4}$;

2) $\sqrt[4]{x^9}$;

3) $\sqrt[3]{-a^{10}}$;

4) $\sqrt[4]{x^6y^5}$;

5) $\sqrt[4]{320x^{10}y^{13}}$;

6) $\sqrt[3]{250m^7n^{20}}$;

7) $\sqrt[4]{-16x^7}$;

8) $\sqrt[6]{a^{26}b^{13}}$;

9) $\sqrt[4]{a^5b^5}$, если $a \le 0$;

10) $\sqrt[4]{a^6b^5}$, если $a \le 0$;

11) $\sqrt[6]{a^7b^{14}c^{18}}$, если $c < 0$;

12) $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}}$, если $b \le 0$.

1) Представим подкоренное выражение $\sqrt{8a^4}$ в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.
$8a^4 = 4 \cdot 2 \cdot (a^2)^2 = 2^2 \cdot 2 \cdot (a^2)^2$.
$\sqrt{8a^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a^4} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$, получаем:
$\sqrt{4} = 2$.
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$, так как $a^2$ всегда неотрицательно.
Следовательно, $\sqrt{8a^4} = 2a^2\sqrt{2}$.
Ответ: $2a^2\sqrt{2}$.

2) Для того чтобы выражение $\sqrt[4]{x^9}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^9 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 0$.
Представим $x^9$ в виде $x^8 \cdot x$.
$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{x}$.
$\sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2$.
Следовательно, $\sqrt[4]{x^9} = x^2\sqrt[4]{x}$.
Ответ: $x^2\sqrt[4]{x}$.

3) Корень нечетной степени ($\sqrt[3]{...}$) определен для любых действительных чисел.
$\sqrt[3]{-a^{10}} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^{10}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{a^{10}} = -1 \cdot \sqrt[3]{a^{10}} = -\sqrt[3]{a^{10}}$.
Представим $a^{10}$ как $a^9 \cdot a$.
$-\sqrt[3]{a^{10}} = -\sqrt[3]{a^9 \cdot a} = -\sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{a}$.
$\sqrt[3]{a^9} = \sqrt[3]{(a^3)^3} = a^3$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-a^{10}} = -a^3\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $-a^3\sqrt[3]{a}$.

4) Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным: $x^6y^5 \ge 0$. Так как $x^6 \ge 0$ для любого $x$, то должно выполняться условие $y^5 \ge 0$, то есть $y \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде $x^6y^5 = x^4 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y$.
$\sqrt[4]{x^6y^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot y^4 \cdot x^2y} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{x^2y}$.
$\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
$\sqrt[4]{y^4} = |y|$. Поскольку $y \ge 0$, то $|y| = y$.
Следовательно, $\sqrt[4]{x^6y^5} = |x|y\sqrt[4]{x^2y}$.
Ответ: $|x|y\sqrt[4]{x^2y}$.

5) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $320x^{10}y^{13} \ge 0$. Так как $320 > 0$ и $x^{10} \ge 0$, то $y^{13} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Разложим на множители: $320 = 16 \cdot 20 = 2^4 \cdot 20$; $x^{10} = x^8 \cdot x^2 = (x^2)^4 \cdot x^2$; $y^{13} = y^{12} \cdot y = (y^3)^4 \cdot y$.
$\sqrt[4]{320x^{10}y^{13}} = \sqrt[4]{16 \cdot 20 \cdot x^8 \cdot x^2 \cdot y^{12} \cdot y} = \sqrt[4]{16 \cdot x^8 \cdot y^{12} \cdot 20x^2y}$.
$\sqrt[4]{16 \cdot x^8 \cdot y^{12}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{y^{12}} = 2 \cdot |x^2| \cdot |y^3| = 2x^2y^3$ (так как $x^2 \ge 0$ и $y \ge 0 \Rightarrow y^3 \ge 0$).
Следовательно, $\sqrt[4]{320x^{10}y^{13}} = 2x^2y^3\sqrt[4]{20x^2y}$.
Ответ: $2x^2y^3\sqrt[4]{20x^2y}$.

6) Корень нечетной степени определен для любых $m$ и $n$.
Разложим на множители: $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$; $m^7 = m^6 \cdot m = (m^2)^3 \cdot m$; $n^{20} = n^{18} \cdot n^2 = (n^6)^3 \cdot n^2$.
$\sqrt[3]{250m^7n^{20}} = \sqrt[3]{125 \cdot 2 \cdot m^6 \cdot m \cdot n^{18} \cdot n^2} = \sqrt[3]{125 \cdot m^6 \cdot n^{18} \cdot 2mn^2}$.
$\sqrt[3]{125 \cdot m^6 \cdot n^{18}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^6)^3} = 5m^2n^6$.
Следовательно, $\sqrt[3]{250m^7n^{20}} = 5m^2n^6\sqrt[3]{2mn^2}$.
Ответ: $5m^2n^6\sqrt[3]{2mn^2}$.

7) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-16x^7 \ge 0 \Rightarrow x^7 \le 0 \Rightarrow x \le 0$.
Разложим подкоренное выражение: $-16x^7 = 16 \cdot (-x^7) = 16 \cdot x^4 \cdot (-x^3)$.
$\sqrt[4]{-16x^7} = \sqrt[4]{16 \cdot x^4 \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$.
$\sqrt[4]{16}=2$; $\sqrt[4]{x^4}=|x|$.
Поскольку $x \le 0$, то $|x| = -x$.
Следовательно, $\sqrt[4]{-16x^7} = 2(-x)\sqrt[4]{-x^3} = -2x\sqrt[4]{-x^3}$.
Ответ: $-2x\sqrt[4]{-x^3}$.

8) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{26}b^{13} \ge 0$. Так как $a^{26} \ge 0$, то $b^{13} \ge 0 \Rightarrow b \ge 0$.
Разложим на множители: $a^{26} = a^{24} \cdot a^2 = (a^4)^6 \cdot a^2$; $b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^2)^6 \cdot b$.
$\sqrt[6]{a^{26}b^{13}} = \sqrt[6]{a^{24} \cdot b^{12} \cdot a^2b} = \sqrt[6]{a^{24}} \cdot \sqrt[6]{b^{12}} \cdot \sqrt[6]{a^2b}$.
$\sqrt[6]{a^{24}} = |a^4| = a^4$; $\sqrt[6]{b^{12}} = |b^2| = b^2$.
Следовательно, $\sqrt[6]{a^{26}b^{13}} = a^4b^2\sqrt[6]{a^2b}$.
Ответ: $a^4b^2\sqrt[6]{a^2b}$.

9) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^5b^5 = (ab)^5 \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0$.
По условию $a \le 0$. Чтобы произведение $ab$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $b \le 0$.
$\sqrt[4]{a^5b^5} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab} = \sqrt[4]{(ab)^4} \cdot \sqrt[4]{ab} = |ab|\sqrt[4]{ab}$.
Так как $a \le 0$ и $b \le 0$, то $ab \ge 0$, поэтому $|ab| = ab$.
Следовательно, $\sqrt[4]{a^5b^5} = ab\sqrt[4]{ab}$.
Ответ: $ab\sqrt[4]{ab}$.

10) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^6b^5 \ge 0$. Так как $a^6 \ge 0$, то $b^5 \ge 0 \Rightarrow b \ge 0$.
По условию $a \le 0$.
$\sqrt[4]{a^6b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{a^2b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[4]{a^2b}$.
С учетом условий $a \le 0$ и $b \ge 0$: $|a| = -a$ и $|b| = b$.
Следовательно, $\sqrt[4]{a^6b^5} = (-a)b\sqrt[4]{a^2b} = -ab\sqrt[4]{a^2b}$.
Ответ: $-ab\sqrt[4]{a^2b}$.

11) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^7b^{14}c^{18} \ge 0$. Так как $b^{14} \ge 0$ и $c^{18} \ge 0$, то $a^7 \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$.
По условию $c < 0$.
$\sqrt[6]{a^7b^{14}c^{18}} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a \cdot b^{12} \cdot b^2 \cdot c^{18}} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{b^{12}} \cdot \sqrt[6]{c^{18}} \cdot \sqrt[6]{ab^2}$.
$\sqrt[6]{a^6} = |a|$; $\sqrt[6]{b^{12}} = |b^2| = b^2$; $\sqrt[6]{c^{18}} = |c^3|$.
С учетом условий $a \ge 0$ и $c < 0$: $|a| = a$, а так как $c^3 < 0$, то $|c^3| = -c^3$.
Следовательно, $\sqrt[6]{a^7b^{14}c^{18}} = a \cdot b^2 \cdot (-c^3) \sqrt[6]{ab^2} = -ab^2c^3\sqrt[6]{ab^2}$.
Ответ: $-ab^2c^3\sqrt[6]{ab^2}$.

12) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{17}b^{26} \ge 0$. Так как $b^{26} \ge 0$, то $-a^{17} \ge 0 \Rightarrow a^{17} \le 0 \Rightarrow a \le 0$.
По условию $b \le 0$.
$\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}} = \sqrt[8]{a^{16} \cdot (-a) \cdot b^{24} \cdot b^2} = \sqrt[8]{a^{16} \cdot b^{24} \cdot (-ab^2)}$.
$\sqrt[8]{a^{16} \cdot b^{24}} = \sqrt[8]{a^{16}} \cdot \sqrt[8]{b^{24}} = |a^2| \cdot |b^3| = a^2 \cdot |b^3|$.
С учетом условия $b \le 0$, имеем $b^3 \le 0$, поэтому $|b^3| = -b^3$.
Следовательно, $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}} = a^2(-b^3)\sqrt[8]{-ab^2} = -a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.
Ответ: $-a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.